春八年级数学下册 1 三角形的证明教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

第一章　三角形的证明

1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.
3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立.
6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.

经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.

发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.

“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同.
本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.
本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来.
教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,
本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.
此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.

【重点】
1.等腰三角形的性质.
2.等腰三角形的判定.
3.直角三角形的性质.
4.直角三角形的判定.
5.线段的垂直平分线的性质定理.
6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.
7.角平分线的性质定理.
8.角平分线的性质定理的逆定理.
【难点】
1.等腰三角形的性质的证明.
2.添加辅助线的方法.
3.勾股定理的证明.
4.勾股定理的逆定理的证明.
5.三线共点的证明方法.
6.用尺规作等腰三角形.
7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.

推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.
因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发.
很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下:
1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.
2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.
3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求.
4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算.
5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.

1　等腰三角形
4课时
2　直角三角形
2课时
3　线段的垂直平分线
2课时
4　角平分线
2课时
回顾与思考
1课时

1　等腰三角形

1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.
2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.
3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.
4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.
5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.
6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题.
7.了解反证法的思想和方法.

1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性.
2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.

在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.

【重点】
1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.
2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.
【难点】
1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.
2.对反证法的认识和了解.
第课时

1.了解作为证明基础的几条公理的内容.
2.使学生经历“探索—— 发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】　等腰三角形的性质及推论.
【难点】　命题的书写格式.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习三角形全等的判定方法.

导入一:
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.
已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证△ABC≌△DEF.
证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),
又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换).
又∵BC=EF(已知),
∴△ABC≌△DEF(ASA).
[设计意图]　经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.
导入二:
我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.
我们已学过的部分基本事实:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?
[设计意图]　帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.

一、等腰三角形的两底角相等
　　[过渡语]　 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.

定理:等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为:等边对等角.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.
求证∠B=∠C.
〔解析〕　我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.
证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)
∵AB=ACBD=CD,AD=AD,
∴△ABD△≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
[设计意图]　通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.
二、三线合一
　　[过渡语]　 在上图中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质,讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,
∵AD是△ABC中的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),
∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).
∴AD是BC边上的中线,
∠BDA=90°,
∴AD是BC边上的高,
∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
[设计意图]　教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.
[知识拓展]　“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.
如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.
已知:　　　　　　　　　　; 
求证:　　　　　　　　　　; 
证明:　　　　　　　　　　. 

例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)
在△ABD和△ECD中,

∴△ABD≌△ECD(SAS).
∴AB=EC,∠1=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠E=∠2,
∴CE=AC,∴AC=AB.
∴AD⊥BC.

1.定理:等腰三角形的两底角相等.
2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条) (　　)
A.9 B.7 C.6 D.5
解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.
2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是 (　　)
A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线
C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线
D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.
3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为　　　　. 
解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.
4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为　　　　. 
解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.
答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm

5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.
解:设∠A=x°,
∵AD=BD,∴∠1=∠A.
∴∠2=∠1+∠A=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°.
由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180, 解得x=36.∴∠A的度数为36°.

6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的

理由.(保留作图痕迹,不写作法)
解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).

第1课时
一、等腰三角形的两底角相等
二、三线合一

一、教材作业
【必做题】　
教材第3页随堂练习的1,2题.
【选做题】　
教材第4页习题1.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B=　　　　度. 
2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于　　　　. 
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA=　　　　度. 

4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=　　　　度. 
5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为　　　　. 
【能力提升】
6.一个等边三角形的边长为a,它的高是 (　　)
A.a B.a C.a D.a
7.至少有两边相等的三角形是 (　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形

8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则 (　　)
A.l垂直AB
B.l平分AB
C.l垂直平分AB
D.l与AB的位置关系不能确定

9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【拓展探究】

11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.
12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.
【答案与解析】
1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)
2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)
3.15
4.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出∠EDF=55°.)
5.8(解析:由勾股定理可求.)
6.B
7.B
8.D
9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)
10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)
11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.
12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或 cm.

本节通过学生对已学知识的回顾,经历了 “探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.

在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.

在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.

随堂练习(教材第3页)
1.提示:(1)70°.　(2)36°.
2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.　(2)提示:90°.
习题1.1(教材第4页)
1.已知　已知　公共边　SSS　全等三角形对应角相等
2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.
3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD=×108°=54°.
4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE, ∠BED=∠CED, ∠EBD=∠ECD, ∠BDE=∠CDE, ∠ABC=∠ACB.由图中易得△ABD≌△ACD, △ABE≌△ACE, △BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.
5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵△ABC和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS或ASA).

6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..

在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.
本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.

　如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.
解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,
∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,
∴∠BCD=120°,

∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,
∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,
∴∠DEF=60°.

　如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AE∥BC,
∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.
∴∠DAE=∠EAC,
∴AE平分∠DAC.
第课时

使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.

引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.

经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】　等腰三角形的性质.
【难点】　命题书写的格式.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习等腰三角形的性质.

导入一:
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程.
还可以有哪些证明方法?
通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:
等腰三角形两底角的平分线相等;
等腰三角形两腰上的高相等;
等腰三角形两腰上的中线相等.
并对这些命题给出多种方法的证明.
[设计意图]　让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,感受证明方法的多样性.
导入二:
在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),观察后解答下列问题:

(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?
(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?
(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?
[设计意图]　通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.

一、等腰三角形的性质
　　[过渡语]　 同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?

(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证:BD=CE.
证法1:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠3=∠ABC,∠4=∠ACB,
∴∠3=∠4.
在△ABD和△ACE中,
∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.
如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.
(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.
(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?如果AD=AC,AE=AB呢?由此,你能得到什么结论?

解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△BDA和△CEA中,
∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,
∴△BDA≌△CEA(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
由此我们可以发现:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).
(2) 在△ABC中,AB=AC,如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE;如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个结论:在△ABC中,AB=AC,AD=AC,AE=AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:
∵AB=AC,AD=AC,AE=AB,
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[设计意图]　提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.
二、等边三角形的性质
　　[过渡语]　同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?请同学们在等腰三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质.

定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC(已知),
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B =∠C.
在△ABC中,
∵∠A+∠B +∠C=180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=60°.
[设计意图]　让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过程.

1.等腰三角形两底角的平分线相等.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.

1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是 (　　)
A.80° B.80°或20°
C.80°或50° D.20°
解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.
2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 (　　)
A.11 B.16 C.17 D.16或17
解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是 (　　)

A.∠B=48° B.∠AED=66°
C.∠A=84° D.∠B+∠C=96°
答案:B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B=　　　　. 
解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.

5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边形ABCD的周长为　　　　. 
答案:12

6.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=　　　　. 

解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.故填18°.

第2课时
一、等腰三角形的性质.
二、等边三角形的性质.

一、教材作业
【必做题】　
教材第6页随堂练习的1,2题.
【选做题】　
教材第7页习题1.2的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 (　　)
A.顶角 B.顶角的一半
C.顶角的2倍 D.底角的一半
2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组则此等腰三角形的周长为 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.5或4
3.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是 (　　)
A.1 cmB.45° C.55° D.60°

【能力提升】
6.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则下列四个结论正确的是 (　　)
①点P在∠BAC的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR; ④△BRP≌△CSP.
A.全部正确 B.仅①和②正确
C.仅②③正确 D.仅①和③正确

7.在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:已知一个角是60°,则另两个角是唯一确定的(60°,60°),已知一个角是90°,则另两个角也是唯一确定的(45°,45°),已知一个角是120°,则另两个角也是唯一确定的(30°,30°).由此马彪同学得出结论在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也是唯一确定的.马彪同学的结论是　　　　的.(填“正确”或“错误”) 
8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为　　　　. 

9.如图所示,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD=　　　　. 

【拓展探究】
10.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.

【答案与解析】
1.B (解析:根据三角形内角和定理可求出.故选B.)
2.A(解析:先解方程组,求边长,要注意能否组成三角形.)
3.B(解析:根据三角形的三边关系.)
4.C(解析:根据三角形全等的判定定理.)
5.C(解析:因为AB=AC,D为BC中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°,所以∠C的度数为55°.)
6.A(提示:可证三角形全等.)
7.错误(解析:这个角有可能是顶角也有可能是底角.)
8.2
9.44°(解析:根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补求得∠ACD=44°.)
10.解:∵AD=DE=BE,∴∠EBD=∠EDB,∠A=∠DEA.∵BC=BD,∴∠C=∠CDB,∵∠DEA=∠EBD+∠EDB=∠A ,∴∠EBD=∠A.又∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=∠A ,∴2×∠A+∠A=180°,∴∠A=45°.

本课时关注了问题的变式与拓广,引导学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生研究问题的能力、自主学习的能力,但也应注意根据学生的实际接受情况进行适度的调整.

因为学生自主探索的经验较少,因而对一些学生而言,完成这节课的全部教学任务可能时间偏紧,为此,教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外.

在巩固等边三角形的性质的同时,进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,规范学生证明的书写格式.

随堂练习(教材第6页)

1.解:如图所示,∵BD,CE分别是等边三角形ABC的中线,∴BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠1=∠2=∠ABC=30°,∴∠BOE=∠1+∠2=60°.∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
2.解:由已知条件D,E是BC的三等分点,有BD=DE=EC,又∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE=AE,∠ADE=∠DAE=∠AED=60°,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB=30°,同理,得∠EAC=∠C=30°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.
习题1.2(教材第7页)
1.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵BD=BC,∴∠BDC=∠C,∴∠ABC=∠BDC=∠C.又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABC.在△DBC中,∠DBC+∠C+∠BDC=180°,∴∠ABC+∠ABC+∠ABC=180°,∴∠ABC=72°,∴∠A=180°-72°-72°=36°.
2.证明:∵AB=AC,AE=AF,∴∠B=∠C,AB-AE=AC-AF,即EB=FC,又∵BD=DC,∴△EBD≌△FCD(SAS),∴DE=DF.
3.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠A=∠BCA.又∵AD=CE,∴△ADC≌△CEB(SAS),∴CD=BE.
4.提示:(1)可证明△BEC≌△DFC,从而得到EC=FC.　(2)相等.相等.如果==(n≥1),那么EC=FC.　(3)如∠DFC=∠BEC或∠BCE=∠DCF等.

　如图所示,已知:l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,求∠α的度数.
解:过点C作CE∥直线m,(如图所示)
∵l∥m,∴l∥m∥CE,
∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°.
在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,
∴∠α=40°.

第课时

1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.
2.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.

探索等腰三角形的判定定理.

培养学生的逆向思维能力.

【重点】　等腰三角形的判定定理.
【难点】　反证法.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习上节学习的等腰三角形中相等的线段.

导入一:
师:请同学们回顾一下,前面我们学习了等腰三角形的哪些性质?
生1:等腰三角形两底角相等,可以简述为:“等边对等角”.
生2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为:“三线合一”.
生3:等腰三角形两腰上的高线相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等.
师:非常好!同学们概括得很全面.那么对于等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等,这个命题的条件和结论分别是什么?
生:条件是等腰三角形的两个底角.结论是两底角相等.
师:我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?
生:完全成立,可以证明出来.
师:这就是我们这节课要学习的内容.
[设计意图]　设计成连续的问题是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段.
导入二:
下列问题,要求学生独立思考后再进行交流.
【问题1】　等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?
【问题2】　我们是如何证明上述定理的?
【问题3】　我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对