1、2013九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（18）
1．如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；②点F是GE的中
2、点；③AF=AB；④S△ABC=S△BDF，其中正确的结论序号是 ．
3．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，
(1)求证：四边形OAO′B是菱形；
(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．
4．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠
3、BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出
4、点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1. C
2. ①③
3.(1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称，
∴直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，
∴AO＝AO′，BO＝BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB，
∴AO＝AO′＝BO＝BO′，
∴四边形OAO′B是菱形．
(2)解：如图，当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1，
∵设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，
∴△ONP为等腰直角三角形，
∴∠ONP＝45°，
∵四边形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP
5、＝45°＝∠OPN，
∴OM＝PM＝MN＝1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝，
即b＝．
4.
5.解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2， ∴A（0，2），
∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），
∴， 解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．
（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，
∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，
6、∴OC=， 又C点在x轴负半轴上，
∴点C的坐标为C（，0）．
（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，
令x2+x+2=x+2， 解得x1=0，x2=， ∴B（，）．
如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
则D（，0），BD=，DP=6﹣=．
点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：
①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=﹣m． ∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，
即， 解得m=， ∴此时M点坐标为（，0）；
②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．
设M（m，0）
7、则MD=﹣m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴，即，
化简得：m2﹣m+=0，
解得：x1=，x2=，
∴此时M点坐标为（，0），（，0）；
（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）
③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．
此时M点坐标为（0，）；
④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．
设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．
易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，
∴，即，
解得m=，
∴此时M点坐标为（0，）．
综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．
符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．
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