江苏省金湖县实验中学八年级数学《第十四章第三节乘法公式》教案.doc

乘法公式

【典型例题】
一. 两数和乘以它们的差：
1. 首先计算：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。
上面所列的这个公式，就是平方差公式。
2. 公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(－b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3. 弄清公式的变化形式：
公式(a+b)(a－b)=a2－b2有八种变化形式：
①位置变化(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)=a2－b2
②符号变化(－a－b)(a－b)=b2－a2
③系数变化(4a+3b)(4a－3b)=(4a)2－(3b)2=16a2－9b2
④指数变化(a2+b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4
⑤增项变化(a－b－c)(a－b+c)=(a－b)2－c2=a2+b2－c2－2ab
⑥增因式变化(a+b)(a－b)(－a－b)(－a+b)=(a2－b2)(a2－b2)=(a2－b2)2
⑦连用公式变化
(a－b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)
=(a2－b2)(a2+b2)(a4+b4)
=(a4－b4)(a4b4)
=a8－b8
⑧逆用公式变化
(a－b+c－d)2－(a+b－c+d)2
=[(a－b+c－d)+(a+b－c+d)][(a－b+c－d)－(a+b－c+d)]
=2a·(－2b+2c－2d)
=4ac－4ab－4ad。
4. 注意公式的应用条件：
字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。应用时，要紧扣“相同项”和“互为相反项”这两点。例如(3a+b)(a－b)≠3a2－b2，因为左边两个因式中的第一项3a和a不是相同项，不符合平方差公式的条件。而且在运算时要注意要将整个项全部平方。
(3a+2b)(3a－2b)≠3a2－2b2
(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2
5. 典型例题：
例1. 计算：
（1）(a+3)(a－3) （2）(2a+3b)(2a－3b)
（3）(1+2c)(1－2c) （4）(9x+4y)(9x－4y)
解：（1）(a+3)(a－3)=a2－32=a2－9
（2）(2a+3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2
（3）(1+2c)(1－2c)=12－(2c)2=1－4c2
（4）(9x+4y)(9x－4y)=(9x)2－(4y)2=81x2－16y2
例2. 计算：
（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)
（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)
（3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b3－5mn2)
解：（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)
=(2m)2－52－6m2+2m
=4m2－25－6m2+2m
=－2m2+2m－25
（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)
=4x2－25y2－(4x2－9y2)
=－16y2
（3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b3－5mn2)
=(4a2b3+5mn2)(4a2b3－5mn2)(16a4b6+25m2n4)
=(16a4b6－25m2n4)(16a4b6+25m2n4)
=256a8b12－625m4n8
例3. 用平方差公式计算：
（1）103×97 （2）118×122 （3）20032－2002×2004
解：（1）103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991
（2）118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396
（3）20032－2002×2004=20032－(2003－1)(2003+1)
=20032－(20032－1)
=1
例4.
分析：直接计算是不行的，注意到2－1=1，用1乘以原来的式子值不变，再利用公式可以计算。
解：
＝……（连续用平方差公式）

例5. 计算：(2x－3y－1)(－2x－3y+5)
分析：初看此题似不符公式的特点，似乎不能应用公式来解，若先将其变形，将“－1”拆成“－3+2”，将“5”拆成“3+2”，便可以应用公式求解。
解：原式=[(2－3y)+(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]
=(2－3y)2－(2x－3)2
=9y2－4x2－12y+12x－5

二. 完全平方公式：
1. 计算(a+b)2=a2+2ab+b2
利用这个结果，可以直接得出两数和的平方。
上面这个算式也就是说：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。
计算(a－b)2=a2－2ab+b2
利用此结果，可以直接得出两数差的平方。
也就是说：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍。
2. 完全平方公式的结构特征：
在和的平方这个公式中，左边是和的平方(a+b)2，右边是平方的和(a2+b2)加上乘积的2倍(2ab)。
在差的平方这个公式中，左边是差的平方(a－b)2，右边是平方的和(a2+b2)减去乘积的2倍(2ab)。
3. 公式的灵活应用：
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2
得（1）(a+b)2=(a－b)2+4ab
（2）(a+b)2－(a－b)2=4ab
（3）(a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2)
4. 公式应用时的注意事项：
（1）公式中a、b既可以是数，也可以是整式。
（2）公式有时会逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
（3）公式中完全平方项的系数全是正数：不能(a－b)2=a2－2ab－b2。
5. 典型例题：
例6. 计算：

解：（1）(2a+3b)2=(2a)2+2×2a×3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2

（3）(2x－3y)2=(2x)2－2×2x×3y+(3y)2
=4x2－12xy+9y2
例7. 计算：
（1）(5x－2y)2+20xy （2）(6x－9)2－2x(x－3)
（3）(3a+4b)2－(2a－b)2 （4）(a－2b)(a+2b)－(a－2b)2
解：（1）(5x－2y)2+20xy=25x2+4y2－20xy+20xy
=25x2+4y2
（2）(6x－9)2－2x(x－3)=36x2+81－108x－2x2+6x
=34x2－102x+81
（3）(3a+4b)2－(2a－b)2=9a2+16b2+24ab－4a2－b2+4ab
=5a2+15b2+28ab
（4）(a－2b)(a+2b)－(a－2b)2=a2－4b2－(a2+4b2－4ab)
=－8b2+4ab
例8. 已知x2+y2=26，4xy=12，求(x+y)2和(x－y)2的值。
解：

例9. 已知m－n=3，mn=10，求（1）m2+n2；（2）(m+n)2。
分析：此题最自然的思路是先求m、n但较困难，因而争取想到利用公式变形来求解。
解：（1）m2+n2=(m－n)2+2mn=32+2×10=29
（2）(m+n)2=(m－n)2+4mn=32+4×10=49
例10.
分析：此式可直接求解，但较困难，不如可逆用(a－b)2=a2－2ab+b2得a2－2ab+b2=(a－b)2。
解：
课后小结：
1. 在平方差公式的应用中，经常要注意两个问题：（1）是否可用平方差公式。（2）关于平方差公式中的符号。
2. 在完全平方公式的应用中，主要考虑完全平方和与完全平方差公式的互相转换，这是完全平方公式的重点。
3. 在解题时，经常会用到乘法公式逆用的情况，要灵活地运用乘法公式。

【模拟试题】
1. 计算：
（1）(5+6x)(5－6x)

（3）(x－2y)(x+2y)
（4）(ab+8)(ab－8)
（5）(－m+n)(－m－n)
（6）(－2x+3y)(－2x－3y)
2. 计算：

3. 计算：
（1）(a+b+3)(a+b－3)
（2）(a－b+c)(a+b－c)
（3）(a2+ab+b2)(a2－ab+b2)

5. 已知(a+b)2=11 (a－b)2=5
求①a2+b2；②ab。
6. 计算①(a+b+c)2 ②(a+b)3 ③(a－b)3

【试题答案】
1. （1）(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2

（3）(x－2y)(x+2y)=x2－4y2
（4）(ab+8)(ab－8)=(ab)2－82=a2b2－64
（5）(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2
（6）(－2x+3y)(－2x－3y)=(－2x)2－(3y)2=4x2－9y2
2. 解：
（1）(2x+3)2=4x2+12x+9
（2）(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2

（4）(－a－b)2=(－a)2－2·(－a)·b+(+b)2=a2+2ab+b2
3. 解：
（1）(a+b+3)(a+b－3)=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9
（2）(a－b+c)(a+b－c)=(a－b+c)[a－(－b+c)]=a2－(－b+c)2=a2－b2－c2+2bc
（3）(a2+ab+b2)(a2－ab+b2)=[(a2+b2)+ab][(a2+b2)－ab]
=(a2+b2)2－(ab)2
=a4+b4+2a2b2－a2b2
=a4+b4+a2b2
4. 解：
又
。
5. 解：①(a+b)2=a2+2ab+b2
(a－b)2=a2－2ab+b2
故 (a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2)
得
②(a+b)2－(a－b)2=4ab
得
6. 解：
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+c2+2(a+b)c
=a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc
(a+b)3=(a+b)2(a+b)
=(a2+2ab+b2)(a+b)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a3+b3+3a2b+3ab2

(a－b)3=(a－b)2(a－b)
=(a2－2ab+b2)(a－b)
=a3－2a2b+ab2－a2b+2ab2－b3
=a3－b3－3a2b+3ab3