秋九年级数学上册 4.3 解直角三角形教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

解直角三角形
教学目标
【知识与技能】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【教学重点】
直角三角形的解法．
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.什么是锐角三角函数？
2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？
【教学说明】通过复习，使学生便于应用．
二、思考探究，获取新知
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边、角之间的关系：
sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
(2)三边之间的关系：
a2+b2=c2 (勾股定理)
(3)锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°．
3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.

解：∵∠B=90°-∠A=60°，
又∵tanB=b/a，
∴b=a·tanB=5·tan60°=5.
∵sinA=a/c，
∴c=a/sinA=5/sin30°=10.
【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.
【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
三、运用新知，深化理解
1.见教材P122例2 .
2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b．
解：a＝csin60°＝8·/2＝12，
b＝ccos60°＝8·1/2＝4，
∠B＝30°.
3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c.
解：∠B＝90°－30°＝ 60°，
b＝atanB＝3·3＝92，
.
4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝-2，a＝－1 ， 求∠A、∠B、 b.

5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2，求 ∠A、∠B、c.
解：由于 tanA＝ab，所以

则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×2＝4.
6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．
解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，
所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm），
△ADB 是等腰三角形，
所以AD＝BD＝8（cm），
则有 AC＝8＋4＝12（cm），
BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm），
AB＝(43)2+122=48+144=83(cm).
7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？

分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.
解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
∵AD=BD，
∴AB=2BC，AE=BE，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，
∵AC=6，
，
设BE=x，则CE=6-x，
在Rt△BCE中，
∵BC=2，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,
∴x2=（6-x）2+（2）2，解得x=4．
即BE=4．
【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.3”中第1、3、4 题.
教学反思
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

第1课时 俯角和仰角问题
教学目标
【知识与技能】
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
【过程与方法】
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.
【情感态度】
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
【教学重点】
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
【教学难点】
选用恰当的直角三角形，分析解题思路.

一、情景导入，初步认知
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.
二、思考探究，获取新知
1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？

分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m)

解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此
tan25°=BC/AC=BC/1000
∴BC=1000×tan25°≈466.3(m),
∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米.
【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.
三、运用新知，深化理解
1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)

分析：利用正弦可求.
解：在Rt△ABC中sinB=AC/AB
∴AB=AC/sinB=1200/0.2843≈4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
解:如图,α=30°，β=60°,AD=120.

答:这栋高楼约高277.1m.
3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号)

分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．

解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，
∴DE=AC=12米．CE=AD=1.5米．
在直角△BED中，∠BDE=30°，

4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)

分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．
解：设AP=h米，
∵∠PFB=45°，
∴BF=PB=（h+1）米，
∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，
在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，
∴h=（h+6）tan30°，

∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．
【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.4”中第2、4、5 题.
教学反思
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.

第2课时 坡度和方位角问题
教学目标
【知识与技能】
1.了解测量中坡度、坡角的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
【过程与方法】
通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.
【情感态度】
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
【教学重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度与弧长有关的实际问题.
【教学难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

即tanA1＞tanA.
【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．
解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,
∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，
所以α≈18°26′.
∵BE/AB=sinα，
∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）.
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

解：过点A作AD⊥BC于点D，

答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．
4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：
(1) ∠D的度数；
(2)线段AE的长．

解：（1）∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，
∴∠BFA=∠CED=90°，
∵CE=BF，BF=3米，
∴CE=3米，
∵CD=6米，∠CED=90°，
∴∠D=30°.
（2）∵sin∠BAF=2/3， ∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，
.
5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.
(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)

分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．

解过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.
在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，
∴AC=PC/tan67.5°=5x/12
在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，

∴BC=x/tan36.9°=4x/3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,
∴AC+BC=AB=21×5，
∴5x/12+4x/3=21×5，
解得x=60.
∵sin∠B=PC/PB，
∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．
【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题.
教学反思
通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.