1、19．3正方形
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．矩形四条内角平分线能围成一个（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、填空题
3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．
4．如图1所示
2、直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．
图1 图2 图3
5．如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则∠E的度数是______，BE的长度为____．
6．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=______．
3、三、解答题
7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．
四、思考题
8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：
（1）AF与DE相等吗？为什么？
（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由．
参考答案
一、1．C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．
4、 2．D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．
二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°
点拨：还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF是菱形等条件．
4． 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=．
5．67.5°；2cm
点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，
所以∠DBC=45°，AD=AB=2cm．
在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，
所以BD=2cm，所以BE=BD=
5、2（cm），
又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=（180°-45°）=67.5°．
6． 点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，
则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD．
在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE==，即PF+PE=．
三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，
因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．
点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．
四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，
所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF．
（2）AF与DE垂直．理由：如图，设DE与AF相交于点O．
因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，
所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA=90°，所以DE⊥AF．
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