1、第二十四章 24.2.4圆的切线长性质
知识点1：切线长与切线长定理
切线长:经过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段的长,叫做该点到圆的切线长.
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.
关键提醒:(1)切线与切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量;
(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.
知识点2：三角形的内切圆与内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三角形三条
2、角平分线的交点.
关键提醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;
(2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有唯一的内切圆,而圆有无数个外切三角形;
(3)我们一定要从文字、图形、性质和实际意义上区别三角形的“外心”“内心”“内切圆”和“外接圆”等概念,以免混淆.
一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.
考点1：利用切线长定理解决问题
【例1】 如图,
3、过半径为150px的☉O外一点P,引圆的切线PA、PB,连接PO交☉O于点F,过点F作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.若PO=250px,∠APB=74°.求:
(1)△PED的周长;
(2)∠DOE的度数.
解:(1)连接OA,则OA⊥PA,PA===8(cm).
∵ PA、PB、DE是☉O的切线,
根据切线长定理知PA=PB,DF=DA,EF=EB.
∴ △PED的周长=PD+DF+EF+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16(cm).
(2)连接OB,则有OA⊥PA,OB⊥PB.
4、
根据切线长定理知∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,
∴ ∠AOD=∠FOD=∠AOF,∠BOE=∠FOE=∠BOF.
∴ ∠DOE=∠FOD+∠FOE=(∠AOF+∠BOF)=∠AOB.
∵ ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-74°=106°,
∴ ∠DOE=×106°=53°.
点拨:(1)由切线长性质知PA=PB,DA=DF,EF=EB,△PED的周长为PA+PB,即2PA.连接OA,由切线的性质得OA⊥PA,利用勾股定理可求出PA;
(2)连接OB,则∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,进而得∠AOD=∠FOD=∠AOF
5、∠BOE=∠FOE=∠BOF,所以∠DOE=∠AOB,而在四边形PAOB中易求出∠AOB的度数.
考点2：和三角形的内切圆相关的计算
【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.则△ABC的内切圆半径为 .
解答:方法一:连接OA、OB、OC,S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
∴ BC·r+AC·r+AB·r=AC·BC.∴ r===2.
方法二:设☉O与△ABC相切于点D、E、F,
连接OD、OF,OD⊥AC,OF⊥BC,∠C=90°,OF=OD,
∴ 四边形OFCD为正方形.
设☉O的半径为r,BF=CF=8-r,AD=AE=6-r,
∴ AB=AE+BE=8-r+6-r=10.∴ r=2.
点拨:方法一:如图 (1),利用面积法求解,把三角形ABC分割成三部分:△BCO、△CAO、△ABO,再根据与△ABC的面积关系可以求出r.
方法二:根据切线长定理求解.由切线长定理可得AD=AE,BE=BF,CF=CD.四边形ODCF为正方形,设☉O的半径为r,可列方程6-r+8-r=10.求出r=2.
(1) (2)
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