八年级数学上 轴对称的性质、应用、镶边与剪纸.doc

一． 教学内容：
轴对称的性质、应用、镶边与剪纸
1、轴对称的性质与轴对称性质的应用
2、生活中的轴对称单元总结

二. 学习重、难点：
轴对称性质的应用及单元知识结构是本节课的重点，也是难点

三. 知识要点讲解：
【知识回顾】
1、什么叫做轴对称图形？什么叫做轴对称？它们有什么区别与联系？
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
注：①、轴对称图形是一个图形，
②、两旁的部分重合——即：两旁的部分全等
索2、什么叫做全等形？全等形有什么性质？
能够完全重合的两个图形，叫做全等形。
全等形的对应线段相等，对应角相等。
【轴对称的性质】
结论：由于成轴对称的两个图形能够完全重合，所以，成轴对称的两个图形一定全等。
轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等
注意：事实上，轴对称图形在对称轴两边的部分是能够重合的，也就是全等的

思考：你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=___________
练一练：在下列的轴对称图形中找出一组对应点、对应线段、对应角。

注意：事实上，轴对称图形在对称轴两边的部分是能够重合的，也就是全等的
利用这一性质，我们可以在轴对称图形中找出对称轴，也可以在已知一个轴对称图形的一半时，完成整个轴对称图形．
【轴对称性质的应用1——完善图形】
问题：
如图：给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴。
你能画出这个图案的另一半吗？

分析图案：
这个图案是由六个点构成的，要将这个图案的另一半画出来，根据轴对称的性质只要画出这个图案中六个点的对应点即可
问题转化成：对称点的作法
已知：对称轴和一个点A，要画出点A关于l的对应点A′，可采用如下方法：

作法：（1）过A作AB⊥l，垂足为B。
（2）延长AB到A′，使BA′=BA
点A′就是点A关于直线l的轴对称点。
思考：你现在能画出图形的另一半了吗？

做一做： 1、如图，直线L是一个轴对称图形的对称轴，画出它的另一半
2、试画出与线段AB关于直线L对称的线段
3、如图，已知，直线MN，画出以MN为对称轴的轴对称图形

4、画出图形的另一半

5、（08东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是　

四. 读一读：要求学生读、想、做结合，验证自己的想像。
总结：作轴对称图形的关键就在于找出一个点的对称点．已知对称轴，要作一个轴对称图形的另一部分，只要作出一些关键的点的对应点，再连结这些关键点的对应点，就可以得到轴对称图形的另一部分了．
思考：1、两个能完全重合的三角板，可以拼出各种不同的图形，下图中已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形.使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形与原三角形可以有重叠部分）.

2、某宾馆发生了一起盗窃案，警官在调查时，宾馆的一个服务员说，当他在值班时曾看到一个人从楼上下来，他穿的运动背心上的号码恰好映在了墙上的镜子里，服务员看到镜子中他的号码是“89”．这时，警官问服务员：“你确信看到的是‘89’这个号码吗？”这个服务员肯定地说：“我记得很清楚，确实是这个号码．”警官略一沉思，说：“不管因为什么目的，你说了谎，你根本不可能从镜子中看到‘89’．”警官的话对吗？请你结合轴对称原理说明为什么．

【轴对称性质的应用2——求最短距离】
例1：湖南省长沙市有一道这样的中考题：如图所示，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）

作法：
1、作点A关于直线a的对称点A′（如图所示）；

2、连结A′B交a于点C；
点C就是所求的点。
证明：根据轴对称的性质可知：CA＝CA′，所以CA＋CB＝CA′＋CB＝A′B，
在直线a上任取一点不同于C点的点D，连结DA、DB、DA′，则有DA＝DA′，
在△A′DB中，DA′＋DB＞A′B＝CA′＋CB＝CA＋CB，
因此，CA＋CB为最短。
总结：这是一道利用轴对称的知识求得最短距离的题，在近年的中考中，利用这个性质求最短距离的试题时有出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。

例2：如图，已知点是锐角内的一点，试分别在上确定点，点，使的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点 ．（要求画出草图，保留作图痕迹）

【轴对称与镶边、剪纸】
1、下面的图案是用剪刀剪出来的，漂亮吗？你能剪出这样的图案吗？

2、取一张长30厘米、宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画出字母E为了合保证剪切后的纸条保持连接，画出的图案应与折叠的线稍远些）用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母E为图案的花边。

思考：
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由。
（2）如果以相邻两个图案为一组，每个图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？
为什么？
（3）在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做。

练一练：
请你将一张长方形的纸片对折，并在上面画出以下图形，然后将其轮廓剪下来展开，看看它是什么图形你能仿此方法剪出一个蜻蜓或其他的图案吗？

【轴对称单元总结】
1、知识结构

轴对称是一种生活中广泛存在的现象，通过本章的学习，我们了解了轴对称的基本性质，也体验了轴对称在生活中的广泛应用，还欣赏了轴对称的美妙之处．
2、知识要点：
①轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
②轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴．
③点到直线的距离：如图，A是直线外一点，过A作直线的垂线，垂足为B，
A与垂足B间的距离叫做点A到直线的距离

④角平分线上点的特征：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
⑤角的对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．
⑥线段的对称性：线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．
⑦线段垂直平分线上的点的特征：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
⑧等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．
⑨等腰三角形的两个底角相等；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
⑩等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形．
在本章中，我们还研究了几何中最常见的最简单的轴对称图形，如：角的轴对称性与角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）；
线段的轴对称性与线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）；
等腰三角形的轴对称性与等腰三角形的性质（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴）等等．这些简单的轴对称图形，通常是我们设计图案的基础．
我们还探索了轴对称的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
对应线段相等，对应角相等．
我们还通过观察、折纸、简单图案设计等进一步了解了轴对称和轴对称图形．
镜面对称是对称中的一种特别的现象．由于镜子放置的位置的关系，从镜子里看到的像与原物有的是左右颠倒的，或是上下颠倒的．如果看到的像与原物相同，那么这个物体就是轴对称的，所以由镜子放置的位置关系，可以得到这个物体的对称轴是什么方向的．

【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列左边和右边的图形成轴对称的有（ ）
A. “ ” B. B B C. { } D. E E
2. 下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A. 直角三角形 B. 直角
C. 等腰直角三角形 D. 线段
3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　　）

4. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ）

*5. 等腰三角形的两边长分别是7cm和3cm，则它的周长是（ ）
A. 17cm B. 13cm C. 17cm或13 cm D. 以上都不对
6. 等腰三角形的对称轴是（ ）
A. 高线 B. 顶角平分线所在的直线
C. 中线 D. 垂直平分线
7. “1，2，34，5，6，7，8”这8个数字是电子表上的数字形式，在镜中的像与原来一样的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 下列说法正确的是（　　　）
A. 两个全等的图形一定轴对称 B. 两个全等的图形一定是轴对称图形
C. 两个成轴对称的图形一定全等 D. 两个成轴对称的图形一定不全等
9. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（　　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法判断
*10. 如图，△ABC中AC＝BC，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠EAD＝48°，则∠ACD＝（　　　　　）
A. 56° 　　 B. 42° 　　 C. 48° 　　 D. 28°

二、填空题（每空3分，共42分）
1. 矩形是轴对称图形，它有____条对称轴，圆是轴对称图形，它有_______条对称轴。
2. 有一个角是60°的等腰三角形是_________，它有______条对称轴。
*3. 等腰三角形中，顶角的度数y与底角的度数x之间的关系式为_____________.
4. 将一写有“A，B，C，D，E，X，Y，Z”字母的纸条垂直于镜子摆放，在镜中的像与原来的字母一样的有_________，将此纸条平行于镜子摆放，则镜中的像与原来的字母一样的有________.
5. 等腰三角形中，已知一角为100°，则其他两角的度数分别为__________.
6. 若一四边形是轴对称图形，且有四条对称轴，则这个四边形是______________.
7. △ABC中，AD⊥BC，BD=DC，∠B＝50°，则∠BAD＝________，∠BAC＝_______.
*8. 停在湖边的小轿车，车牌号在湖面中的倒影是，你知道小轿车的车牌号是____.
9. 在你学过的汉字中，请写出成轴对称的汉字：_________________（不少于4个）。
*10. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20，AE=5，则△ABC的周长为_________

三、解答题（1、5小题各6分，2、3、4小题各4分，共24分）
1. 画出下图中的对称轴。

2. 以直线L为对称轴，画出下图形的另一半。

*3. 小花在镜子中看到钟表上的示数为2：35，如图所示，你能确定此时的时间为多少吗？

**4. 如图所示：P、Q分别是△ABC的边AB，AC上的点，在BC上找到一点R，使△PQR的周长为最短。

*5. 如图所示，DE垂直平分△ABC的边AB，交AB于D，交BC于E已知AB=10cm，BC=8cm，AE=6cm，求AD和CE的长度。

四、能力提高（1、2、3每小题6分，4、5每小题8分，共34分）
*1. 已知等腰三角形的周长是28，一腰上的中线把其周长分成两部分，其差为2，求腰长。
*2. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E， ∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，求∠B的度数。

3. 如图所示，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过O作EF平行于BC，写出图中的所有等腰三角形

**4. 创新中学为了美化校园环境，准备在草坪内再种植12棵“矮球松”，条件是这12棵小松树要栽成6行，每行4棵树，并且整个图案成轴对称图形，园丁想了想，决定向在校学生征集方案，公告一出，马上引起了该校学生的好奇，纷纷设计出不少精美的轴对称图案，请你也为创新中学设计出一个满足上述要求的方案。
*5. 如图所示，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图。

试题答案
一、选择题
1～5 ＣＡＡＤＡ 6～10　ＢＢＣＢＡ

二、填空题
1. 4；无数条 2. 等边三角形；3 3. y=180°－2x 4. BCDEX；AXY
5. 40°；40° 6. 矩形（正方形或菱形） 7. 40°；80° 8. LM－G6589
9. 天、田、王、一、二、三 10. 30

三、解答题
1. 图略 2. 图略 3. 9：25 4. 提示：作点P关于BC的对称点P/，连接QP/，交BC于一点R，则△PQR的周长最短。
5. AD=5cm；CE=2cm

四、能力提高
1. 10 2. 36° 3. △EBO，△FCO
4. 参考答案如下图：（图1～图6）

5. 提示：分别作点M关于河边与草地边的对称点P、Q，连接PQ，分别交河边与草地边两点，则这两点就是所求作的点。