山东省东营市垦利区郝家镇九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系（2）教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24.2.2直线和圆的位置关系（2）
1、教学目标（或三维目标）
知识与技能:
探究切线与过切点的半径之间的关系和切线的判定方法，会判断一条直线是否为圆的切线．
数学思考与问题解决
积引导学生从事观察、探究、推理证明等活动，提高学生的推理判断能力．
情感与态度:
经历探究圆的切线的性质和判定的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，丰富学生对现实空间及图形的认识，增强运用数学的意识．
2、教学重点
圆的切线的性质定理和判定定理．
3、教学难点
圆的切线的性质定理和判定定理的应用
4、教学过程：
1）课堂导入
蒸汽机车的车轮在铁轨上滚动，铁轨可以看成直线，它与车轮所对应的圆是相切的．车轮上过切点的那根辐条所对应的直线与表示铁轨的直线有怎样的位置关系呢？
2）重点讲解
探究点1：如图，直线AB是⊙O的一条切线，点T是切点，连接OT．

问题：
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，找出它的对称轴．
（2）测量∠OTA和∠OTB的度数，并与同学交流测量的结果．
（3）猜想：切线AB与过切点的半径OT有怎样的位置关系，你能证明这个结论吗？
总结：圆的切线垂直于过切点的半径．
定理中题设和结论中涉及三个要点：切线、切点、垂直，已知三个要点的两点是否可以推出另一点？由学生分析写出结论并证明．
证明过程参考教材审8页．
教师总结证明过程中需注意的地方，并提出问题：
总结：
推论（1）：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论（2）：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
在论证两个推论时，学生只要把意思表达对了即可，不一定要一字不差，然后由教师和学生一起得到结论．
3）问题探究
探究点2：“圆的切线垂直于过切点的半径”的逆命题成立吗？
试验：OA为⊙O的半径，过A作l丄OA．可以发现：（1)直线l经过半径OA的外端点A；（2)直线l垂直于半径OA．
总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？
请学生说明作图过程，切线是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行？（学生画出反例图）

图（1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图（2)、（3)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，切线的判定定理实际就是由“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．
4）难点剖析
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.

例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．

分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.

证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
归纳：
证切线时辅助线的添加方法：
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其它重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
5）训练提升
1．下列说法中，正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
2．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．

3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．

5. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )
A．70° B．35° C．20° D．40°
6．如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
7．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )

A．8 B．6 C．5 D．4
8．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．

9．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.

10．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )

A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC
11. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．

12. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．

13．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．

15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.

(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．

16．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；
(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

17．如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．

答案：
1. D
2. 相切
3. ∠ABC＝90°
4. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线
5. D
6. A
7. D
8. 6
9. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A
10. C
11. 45
12. 4
13. 60
14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切
15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝＝2，∴BD＝OD－OB＝2－2
16. (1) ∠BAE＝90° ∠EAC＝∠ABC
(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线
17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6
5、板书设计：
24.2.2 直线和圆的位置关系(2)
1. 切线的判定方法
2. 证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
3. 切线的性质
例题：1 例题2： 学生板书
6、教学反思：