1、角的平分线(2)
教学目标
1.会阐述原命题和逆命题之间的关系，能识别两个互逆的命题，并会写出题设和结论较为简单的命题的逆命题.
2.会举例说明一个定理不一定有逆命题.
3.会正确的区别应用角平分线的性质定理1和性质定理2.
教材分析
1. 教学重点：会写出题设和结论较为简单的命题的逆命题.
2. 教学难点：角平分线的性质定理1和性质定理2的应用。
教学过程
1.观察下表的各组命题中的命题1和命题2，你发现了什么？
命题1
命题2
一
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
二
两直线平行同位角相等
2、同位角相等两直线平行
三
全等三角形的对应边相等
有三边对应相等的两个三角形全等
四
全等三角形的对应角相等
有三个角对应相等的两个三角形全等
2． 出下列命题的逆命题
（1） 对顶角相等；
（2） 等角的余角相等；
（3） 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（4） 如果两个角相等，那么这两个是对顶角；
3． 下列说法正确吗？如果不正确，请举出反例。
（1） 每个命题都有逆命题；
（2） 一个命题的逆命题一定是真命题；
（3） 一个命题的逆命题一定是假命题；
（4） 每个定理都有逆定理。
4． 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而
3、第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.
例1.已知：如图3.9(1)△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线
A
B
C
P
F
E
图3.9（2）
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
4、即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
1.已知：如图3.9(2)BP、CP是△ABC的外角平分线.
求证：点P在∠BAC的平分线上.
2.如图3.9(3)，已知∠C=Rt∠，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。
1
A
B
C
2
D
图3.9(3)
课堂小结
1． 每个命题都有逆命题，每个定理不一定有逆定理.
2． 互逆的定理,从正反两个方面揭示了图形的性质,因此必须区分应用它们.
课堂检测
1.已知：如图3.9(4)，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD
5、CD，
求证：BE⊥AC。
分析：本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可证∠C+∠1=90°，而∠2+∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等，而这由“HL”公理不难得证。
图3.9(4)
证明：∵AD⊥BC
∴∠BDA=∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠C
∴∠1+∠C=90°
∴∠BEC=90°
∴BE⊥AC
2.已知：如图3.9(5)，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，
求证：AB=AC。
分析：此题看起来简单，其实
6、不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于 是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵D是BC的中点
图3.9(5)
∴BD=CD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠BED=90°，∠CFD=90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF
同理可证AE=AF
∴AE+BE=AF+CF
即AB=AC
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