八年级数学上册 一次函数） 上册 人教新课标版.doc

6.2 一次函数
一、教学目标
（一）知识目标
1、理解一次函数和正比例函数的概念。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
（二）能力目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
（三）情感目标
1、通过函数与变量之间的关系的联系，发展学生的数学思维能力。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
二、教学重点
从具体背景中列出相应的一次函数表达式，从而概括出一次函数的概念。
三、教学难点
根据已知信息写出一次函数的表达式。
四、教学过程
环节
过程
理性思考
（一）、情境导入

（二）新知探究

（三）、回顾过程，体会方法

（四）、作业设计
1、复习函数概念，学生举例。

2、实际情境导入
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
学生小组讨论，代表发言。说明分析过程，解题过程。

3、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升

你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x）
学生单独完成，代表发言。

1、 探究概念，概括形式特征。
观察上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，像这样的函数称为一次函数。
（1）你能举出其他的一次函数表达式吗？（y=x+3等）
（2）你能找到这些表达式的共同特征吗？
（3）如果用k表示一次项系数，用b表示常数项,你能用一个含有字母的式子概括上述表达式吗？
（4）你能从形式上给一次函数下定义吗？
（5）规范一次函数定义
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
2、 明确概念，掌握形式特征。
（1）以下表达式都不是一次函数，你能说明理由吗？
y= y=2x2+x y=(x-1)2 -x2+2x
(2)判别一个函数是否是一次函数应该注意什么问题？
（3）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①yx-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④

3、 应用概念，解决实际问题。
例1：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）

例2：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于1600的部分不收税，超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1960元，他应缴个人工资薪金所得税为（1960-800）×5%=18（元）
①当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。
②某人某月收入为1760元，他应缴所得税多少元？
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？

1、我们是从哪个方面来认识一次函数的？你能举例说明吗？
2、你能够从实际情景中列出关系式吗？

1、见下表：
x
-2
-1
0
1
2
……
y
-5

-2
1
4
7
……
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有

正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。

理解函数概念，为本节课的探究提供理论知识。

通过表格的形式，使学生感受到x的变化引起y的变化情况，进而猜想y与x的表达式.

启发学生认真观察，探索规律，培养学生合作意识。

进一步使学生熟悉表格的形式，从表格中发现规律。

在找规律的过程中引导学生注意函数关系式的特点。

培养学生的语言表达归纳能力。

明确一次函数的形式特征，是学生在分析比较中获得知识，发展学生的概括能力。

通过学生比较熟悉一次函数关系式的练习，使学生认识到现实世界中存在着大量一次函数关系，体现到数学来源于实际生活。

使学生了解一次函数与一次方程的联系，能够将题目中所给的数值转化为某个变量的值。

培养学生归纳和语言表达能力。

通过作业的练习，使学生延长学生过程及时巩固所学知识，进

一步熟悉现实生活中的一次函数关系。

课 堂 实 录
师：在上节课我们已学习过什么是函数，大家能不能举一些例子呢？
生1：身高随年龄的变化而变化。
生2：气温随时间的变化而变化。
生3：树高随时间的变化而变化。
师：有关函数问题在我们日常生活中随处可见。下面研究弹簧称的长度与所挂物体的重量之间的关系：﹙出示问题，小组讨论代表发言）问题（1）计算略。
生：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米总长为3.5厘米，当挂2千克物体时，弹簧又增加0.5厘米，总长度为4厘米，由此可见，所挂物体增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米.所挂物体为X千克，物体就伸长0.5X厘米，则弹簧总长度为原长的长度加伸长的长度，即y﹦3＋0.5X
师：这位同学分析得非常好，出示做一做。
生：（1）表格中依次填100、91、82、73、64、46。（2）因为剩余油量等于原有汽油减去耗去的油，每行驶50千克耗油9升，当行驶X千米时耗油应为9×X÷50、所以y＝100-0.18X。
师：观察两个函数关系式：y=05x+3、y2100-0.18x,像这样的函数成为一次函数，你能举出其它的一次函数表达式吗?
生1:y=x+3
生2:y=0.2x-3
生3:y=90-6x
师：你能找到这些表达式的共同特征吗？
生1：都是关于X的一次式。
生2：左边是因变量y，右边是含自变量的代数式。
师：如果用k表示一次项系数，用b表示常数项，你能用一个含有字母的式子概括上述表达式吗?
生:能,y=kx+b.
生:你能从形式上给一次函数下定义吗？
生：能，形式为y=kx+b,k、b为常数。K≠0
师:若两个变量x、y间的关系式可以表达成y=kx+b(b、b为常数。K≠0)的形式，则称y是x的一次函数x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时。称y是x的正地例函数。
师：（1）以下表达式都不是一次函数，你能说明理由吗？
(1)y= (2) y= (3)y=(x-1)2-x2+2x
生1：（1）中分母中含有字母X，X不能在字母中。
生2：（2）中X的最高次数是2次，应为1次。
生3：（3）经过化简后为y=1. 不符合kx+b的形式。
师：判别一个一次函数是否是一次函数应注意什么问题？
生：①是整式。 ②自变量X的最高次是一次。
师：下列函数中，y是X的一次函数的是（ ）。

①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④
生：B.由于②右边是分式。所以不是一次函数。②③④是。
师：很好。下面应用概念解决实际问题。
（出示例1）。
生：（1）由路程=速度×时间。得y=60x、y是x的一次函数，也是x的正地例函数。
（2）由圆的面积公式，得y=…x2,y不是x的一次函数，也不是x的一次函数。
（3）这棵树每月长高2厘米，因而y=50+2x,y是x的一次函数，但是x的正比函数。
师:出示例2。 （分析过程略）。
师：回顾过程，体会方法。
我们是从哪个方面来认识一次函数的？你能举例说明吗？
生：从表达式上，Y=kx+b 如：y=3x+2 y=4x-3 等等。
师：你能够从实际情境中列出关系式吗？
生：能。认真分析题中的数量关系，找到变量，搞清楚变化关系，就能列出关系式。
师（出示作业）本节课我们一起学习了一次函数，下节课我们将研究一次函数的图像。
下课。再见！
课 后 反 思
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要的内容。一次函数是在前面介绍了函数的概念以及七年级下介绍的变量之间的关系等知识的基础上展开的。本节课作为研究一次函数的第一课时，力图通过对一次函数概念的探究，使学生从代数表达上认识一次函数。下一节课研究函数的图像从“形”的角度上认识一次函数及其性质。因此本节课的重点是从具体背景中列出相应的一次函数表达式，从而概括出一次函数的概念。列关系式是学生学习中的难点，本节课体现了“问题情境——建立数学概念——应用概念解决问题”的数学模式，让学生从实际问题情况中抽象出一次函数的概念，发展学生解决问题以及类比、归纳能力。
本节课作为一堂概念数学课，我从以下方面进行了设计：
1、探究数学概念产生的实际背景，一次函数是刻画现实世界变量关系的最为简单的一个模式。本节课从学生比较熟练的弹簧称长度的变化与汽车油箱中的剩油量两个实例出发，让学生充分感受到现实生活中大量存在的一次函数关系，体现了数学在生活中的广泛应用。
2、提出数学新概念。通过精心设计的问题串引导学生归纳、总结、发现一次函数表达式的一般特征从而从表达式的形式上总结出一次函数的概念。
3、揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系。通过习题使学生明确一次函数的形式特征掌握，判别一个关系式是否是一次函数的方法，从内涵与外延两方面掌握一次函数的形式特征。
4、运用新概念解决问题。通过两个例题进一步使学生认识到现实生活中存在着大量的一次函数关系，使学生体验到数学来源于生活实际。在数学课堂教学中要注重学生运用所学知识来解决问题，增强学习的积极性，加深对所学知识的认识程度，扩展思维，培养数学能力。
5小结反思新概念的形成过程，通过学生自己小结的形式回顾概念的形成过程，学生体会方法。
在本节课的教学中，经过学生的反馈，也存在着不足之处，主要有以下两点：
(1) 学生在观察一次函数形式特征时，学生对于kx+b的形式总结的不够准确，说明问题串的设置没有植根于学生的现有认识之上，在以后的教学中，应充分了解学生现有的知识水平，精心的设置问题串。
（2）对于例二第(3)问部分学生解决得不是很好，不能明白19.2元实际上就是ｙ的值。求工人工资就是给出y的值求X的值。在教学中应多给学生自主探究的时间，让学生自己发现问题解决问题，从中体验到解决数学问题的方法。