1、28．1锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
1．理解余弦、正切的概念；(重点)
2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)
一、情境导入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
二、合作探究
探究点一：余弦函数和正切函数的定义
【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，
2、AC＝12，则cosA＝( )
A. B. C. D.
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C.
方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 利用正切的定义求三角函数值
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( )
A. B.
C. D.
解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝.故选D.
方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．
3、变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
探究点二：三角函数的增减性
【类型一】 判断三角形函数的增减性
随着锐角α的增大，cosα的值( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．不确定
解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.
方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．
【类型二】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin7
4、0°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.
方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.
探究点三：求三角函数值
【类型一】 三角函数与圆的综合
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.
(1)求证：DC＝BC；
5、
(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明＝；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．
(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴＝.∴DC＝BC；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3.∵
6、∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，EC＝.∵DC＝BC＝3，∴ED＝＝＝，∴tan∠DCE＝＝＝.
方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题
【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
解析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定
7、理可求AC的长，然后利用正弦的定义求解．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝＝＝13，∴sinC＝＝.
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．余弦函数的定义；
2．正切函数的定义；
3．锐角三角函数的增减性．
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.
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