八年级数学 勾股定理.doc

八年级数学 勾股定理
一、教学任务分析：
课 题
18.1勾股定理（一）
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
1．知道勾股定理的发现过程，知道勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感目标
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
教学重点与难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
教学资源
小黑板
预习作业
内容
1、 阅读书本P72~74
2、 完成自主练习与检测的基础平台
时间
15分钟
方法
通过阅读自学。
要求
认真阅读，领会勾股定理的内容及证明方法
二、教学过程设计：
教师活动
学生活动
一、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

教师活动
学生活动
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

二、例题讲解
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=4×ab＋c2，右边S=（a+b）2，左边和右边面积相等，即4×ab＋c2=（a+b）2

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

教师活动
学生活动
三、课堂练习
1．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。

2．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

课
堂
总
结
1.勾股定理的内容
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）

三、作业布置：
P77~78/1~5

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案
一、教学任务分析：
课 题
18.1勾股定理（二）
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
过程与方法
通过学生画好图形，标好图形，理清边边之间的关系，明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
情感目标
注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
教学重点与难点
1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
教学资源
小黑板
预习作业
内容
完成自主练习与检测页的基础平台
时间
15分钟
方法
自学。
要求
会应用勾股定理解决预习作业
二、教学过程设计：
教师活动
学生活动
一、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
二、、例习题分析
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生

学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

教师活动
学生活动
明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解

三、课堂练习
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。

小组讨论合作求解

教师活动
学生活动
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

课
堂
总
结
1.明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
2.注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
3.勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
三、作业布置：
1．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

2.78~79/7、8、9

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案
一、教学任务分析：
课 题

18.1勾股定理（三）
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
过程与方法
学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
情感目标

教学重点与难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
教学资源
小黑板
预习作业
内容
阅读书本P74~75
完成自主练习与检测页的基础平台
时间
15分钟
方法
自学。
要求
看懂两个例题，会应用勾股定理解决预习作业
二、教学过程设计：
教师活动
学生活动
一、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
二、例习题分析
例1（教材P74页探究1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？

教师活动
学生活动
例2（教材P75页探究2
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

三、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

2题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

教师活动
学生活动
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，
∠B=60°，则江面的宽度为 。

2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。

3．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）

课
堂
总
结
1．明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
2.进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。
三、作业布置：
P79/10、11、12

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案
一、教学任务分析：
课 题
18．1 勾股定理（四）
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
过程与方法
“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
情感目标

教学重点与难点
1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
教学资源
小黑板
预习作业
内容
3、 阅读书本P76~77
4、 完成自主练习与检测页的基础平台
时间
15分钟
方法
认真阅读，动手实践
要求
会用勾股定理在数轴上画一些特殊的无理数
二、教学过程设计：
教师活动
学生活动
一、课堂引入
复习勾股定理的内容本节课探究勾股定理的综合应用。
二、例习题分析
例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长。

学生能够自己画图，并正确标图。学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
教师活动
学生活动
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？

例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。
学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？

学生深入体会

教师活动
学生活动
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P76页探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示的点

课
堂
总
结
1.“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
2.解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。清楚作辅助线不能破坏已知角。

三、作业布置：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，AB= 。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。
3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°AC=，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
4．在数轴上画出表示－的点。