2007年江苏省苏州市中考数学复习教案 因式分解、分式、数的开方.doc

2007年江苏省苏州市中考数学复习教案 因式分解、分式、数的开方
陈文华　　　吴中区浦庄中学

【课标要求】
（1）会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）．
（2）了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．
（3）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
（4）了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
（5）了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式的分母有理化，会用它们进行有关实数的简单四则运算．
【课时分布】
因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试．下表为复习内容及课时安排（供参考）．
课时数
内容
1
因式分解
1
分式
1
数的开方

因式分解、分式、数的开方单元测试与评析
【知识回顾】
提公因式法
1、知识脉络（教材相应章节重要内容的结构与联系）

公式法
因式分解

分组分解法

十字相乘法

通分
分式的
基本性质

约分

实际问题

分式的乘除
分式

分式运算

分式的加减

平方根
二次根式

化简
计算

立方根
数的开方

2、基础知识（教材相应章节重要内容整理）
（1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．
（2）因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：；；
③十字相乘法：；
，（≠０）．
④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解．
（3）分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
（4）分式的基本性质：（其中M是不为零的整式）．
（5）分式的运算与分数的运算相仿．
（6）平方根与算术平方根的概念：如果，那么的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．
（7）立方根的概念：如果那么叫做的立方根，记为
（8）二次根式概念：形如的式子叫二次根式．
（9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
（10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（11）相关性质：；．
（12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式．
3、能力要求
例1　在二次根式①，②，③，④是同类二次根式的是　　　　（　　）．
A． ①③　　　　　　B． ②③　　　　　C． ①④　　　　　D． ③④
【分析】解答本题的关鍵是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与是否为同类二次根式．
【解】∵．
∴与是同类二次根式的是①④，故答案选项C．
【说明】最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练．
例2 把下列各式因式分解：
（１）　　　　　（２）　　　　（３）
【分析】（１）本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用分组分解法．在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解．（２）把化为，把化为，然后直接利用立方差公式来进行因式分解．（３）对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解．
【解】（１）原式＝．
（２）原式＝(2x)3-=(2x-)(4x2++．
（３）原式＝．
【说明】华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低．事实上，让学生掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用；另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解．对于立方和（差）公式，在中考总复习时要补充，让学生会运用公式来因式分解.
例3　化简：．
【分析】在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的．对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简．
【解】原式＝．
【说明】分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视．
例4　已知，求代数式的值．
【分析】由于、均为可化简的二次根式，应先将、进行化简。而多项式的次数较高，且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化．
【解】∵，
∴，
∴．
【说明】本题考查学生数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透．
例5　先化简，再求值：．
【分析】化简本题时可先利用公式来化去根号，然后通过分子、分母因式分解约分化简．
【解】∵∴
∴原式＝．
【说明】本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性．另外，值得注意的是化简结果后求值的方法技巧，告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求值．
例6　已知的值．
【分析】有效利用配方法，由已知条件求出a+b，ab的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b，ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果．
【解】∵∴
∴，，∴．
【说明】利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论，的值是解决此题的突破口．利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知，的式子，让学生体会整体思想方法和转化思想方法．
【复习建议】
1、复习概念时不要死记硬背，要抓住概念中的关键词语，并对相近概念进行辨析，以达到巩固概念的目的．
2、复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，以达到熟悉运用公式、法则，提高运算能力的目的．
3、由于十字相乘、分母有理化、立方和（差）公式等内容新教材上没有，可能有些师生以前不太重视，只要达到理解掌握和简单应用（不要深挖）的要求即可．