1、第十一章 11.3.2多边形的内角和知识点1：多边形的内角和(1)多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)180.(2)多边形的内角和的推导方法有很多,但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的,即利用多边形对角线或对角线的一部分,可以把多边形分割成若干个小三角形,再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法: (1) (2) (3)方法一:教材中所提供的方法如图 (1)所示,以多边形的某一个顶点为端点,与其他顶点相连接构成多边形的对角线,把多边形分割成(n-2)个小三角形.方法二:如图 (2)所示,在n边形中,取某边上
2、一点(非顶点)为端点,与其他顶点相连,把多边形分割成(n-1)个小三角形.方法三:如图 (3)所示,在n边形的内部任取一点,与多边形的各顶点相连,把多边形分割成n个小三角形.关键提醒:多边形的内角和与边数有关,边数每增加一条,则内角和就增加180.知识点2：多边形的外角和(1)多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360.(2)多边形外角和定理的证明:多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n 180,外角和等于n 180-(n-2)180=360.归纳整理:1.多边形外角和都等于360,与边数多少无关.2.外角和定理的作用:(1)已知各相等外角度数求多边形边数;
3、(2)已知多边形边数求各相等的外角度数.(3)通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数. 正n边形其外角和为360,所以正n边形外角度数都相等且为,与外角相邻的内角的度数为180-.考点1：多边形内角和的计算【例1】两个正多边形的边数之比为12,内角和之比为38,求这两个多边形的边数、内角和.解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)180和(2n-2)180.由于两内角和度数之比为38,因此=,解得n=5.(n-2)180=540,(2n-2)180=1440.因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540和14
4、40.点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程.考点2：多边形内角和的应用【例2】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)180,一定是180的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010的多边形,因此她的想法是不能实现的.点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)180,发现多边形的内角和一定是180的整数倍.考点3：多边形外角和的应用【例2】正多边形的一个外角等于30,则这个多边形的边数为().A. 6 B. 9 C. 12 D. 15答案:C.点拨:根据多边形的外角和为360,正多边形的每一外角都相等,用36030即可求出边数
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