八年级数学上册 蚂蚁怎样走最近教案二 北师大版.doc

蚂蚁怎样走最近 教学设计
教学设计思想：
本节内容需一课时讲授；本节课体现了以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探久能力为重点的教学思想．在课堂教学中，尽量为学生提供“做中学”的时空，小组合作，探究交流得到了真正体现．数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中，真正体现了新课标的理念．
教学目标
（一）知识与技能
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．
（二）过程与方法
1．学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．
2．在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
（三）情感、态度与价值观
1．通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
2．在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学．
教学重点
探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
教学方法
启发—动手操作相结合．
教学安排
1课时
教具准备
投影片三张、硬纸板做的圆柱．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］我们学习了勾股定理和直角三角形的判别条件（即勾股定理逆定理）．一起回忆一下．
［生］勾股定理：如果直角三角形两直角边是a，b，斜边为c，则a2+b2=c2．
直角三角形判别条件（即勾股定理逆定理）：a，b，c是一个三角形的三条边，如果a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形．
［师］我们知道这两个定理非常重要．而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数和形．由直角三角形的“形”，可得到三边关系的“数”；反过来，由三角形三边关系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”．更为重要的是，用它们能解决生活中的实际问题．
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
［生］根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米．

所以至少需13米长的梯子．
［师］显而易见，勾股定理及其逆定理，应用十分广泛．下面我们再来看一个例子．
Ⅱ．讲授新课
1．蚂蚁怎么走最近
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3．14）．

［师］同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
［生］圆柱的侧面是曲面．蚂蚁要从A点爬行到B点，它没有翅膀，只能从圆柱的侧面爬到A点，而且爬行的路程最短，我认为蚂蚁可以从A点沿着圆柱的母线到A′点，再沿着上底面的边缘爬到B点；也可以从A点沿着下底面的边缘到达B′，再沿着母线向上爬，到达B点．
［师］你可以将刚才的路线画到你做的圆柱上．是不是最短的呢？
［生］我认为不是．我还可以在上底面边缘A′、B之间取中点D，蚂蚁可沿曲面由A直接到D，再沿上底面的边缘到达B．
［生］老师，我还有更短的．可以让蚂蚁从A点直接到达B点．
［师］同学们可以将刚才几位同学设计的路线和你自己设计的路线都画在圆柱的侧面上．到底谁画的路线最短呢？
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）．

我们不难发现，刚才几位同学的走法：
（1）A→A′→B；　（2）A→B′→B；
（3）A→D→B；　 （4）A—→B．
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
［生］第（4）条路线最短．因为“两点之间的连线中线段最短”．
［师］是不是有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感受．看上去这是一个曲面上的路线问题，可当我们把圆柱的侧面展成一个平面图形——长方形时，使我们恍然大悟其中的道理．真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”．
那么蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它需要的最短路程是多少呢？（π取3）
［生］当我们把圆柱的侧面展成长方形时求最短路线问题就变成了：在Rt△AA′B中，已知AA′=12厘米，A′B′=πr=3×3=9厘米．根据勾股定理可得AB2=AA′2+A′B2=122+92=225，所以AB=15厘米．即蚂蚁爬行的最短距离为15厘米．
2．做一做
如图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．

（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米．AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
［师生共析］李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测　　 ∠DAB=90°，∠CBA=90°．连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．
（可以先鼓励学生自己寻找办法）
［生］根据我们刚才的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DAB是否为直角三角形，即∠DAB=90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB、BD、DA的长度，然后计算AB2+DA2和BD2，看它们是否相等．若相等，则说明AD⊥AB．同理也可检测BC是否垂直于AB．
［师］很好！我们来看第（2）个问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度 ，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗？
［生］可以．因为AD2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2．可得AD和AB垂直．
［师］小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗？
［生］可以利用分段相加的方法量出AB、AD和BD的长度．
［生］这样做误差较大．可在AB、AD上各量一段较小长度．例如在AB边上量一小段AE= 8 cm，在AD边上量一小段AF=6 cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102．这时只要量一下EF是否等于10厘米即可．如果EF=10 cm，EF2=100，则有AE2+AF2=EF2，根据勾股定理的逆定理就可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90°即∠DAB=90°，所以AD⊥AB；如果EF≠10厘米，则EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，所以△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．
［生］也可以在AB边上取AM=3厘米，在AD边上取AN=4厘米，再量MN是否等于5厘米，也可以检测AD与AB是否垂直．
［师］看来，同学们的方法还真不少．勾股定理和它的逆定理在实际生活中应用确实十分广泛．我们不妨再用它们解决几个问题．
Ⅲ．随堂练习
1．甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
2．如图，有一个高1．5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0．5米，问这根铁棒应有多长？

［师生共析］1．分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型．
解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）．

在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米．即甲、乙两人相距13千米．
2．分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时．
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值．
（1）x2=1．52+22，x2=6．25，x=2．5
所以最长是2．5+0．5=3（米）．
（2）x=1．5，最短是1．5+0．5=2（米）．
答：这根铁棒的长应在2~3米之间（包含2米、3米）．
Ⅳ．课时小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题．我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型．
Ⅴ．课后作业
1．课本P23、习题1．5．

2．举出生活中的一些实例，并用勾股定理解决它．
3．收集勾股定理的历史．
Ⅵ．生活与探究
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路爬最近？你能帮它找出来吗？（这个长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B离点C 5厘米）
过程：要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化成平面图形，即将A和B所在的相邻的两个面展开，利用“两点之间，线段最短”，就可求得．

结果：根据题意，最短路径有下列三种情况（如下图所示）

由图（1）求得AB2=ABBB=152+202=625；
由图（2）求得AB2=BC+C1A2=252+102=725；
由图（3）求得AB2=AC2+BC2=302+52=925．
比较上面结果，可知最短路径应为AB=25厘米．
板书设计
蚂蚁怎样走最近
一、蚂蚁怎样走最近
将曲面的路线问题圆柱的侧面展开图上的平面问题用勾股定理解决的数学问题．
二、做一做
勾股定理逆定理的应用．
三、随堂练习
1．方位、路程问题用勾股定理能解决的数学问题．
2．勾股定理的灵活应用．
3．试一试