九年级数学下册 3.2 圆的对称性教案2 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3.2圆的的对称性
教学目标：
1．经历探索圆的轴对称性和中心对称性及其相关性质的过程；
2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的性质；
3．经历探索圆旋转不变性，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
教学重点与难点：
重点难点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
课前准备：圆形纸片，多媒体课件．
教学过程:
一、问题情境，导入新课
活动内容：（多媒体出示）
上一节我们学习了圆的相关概念，从这节课开始，我们学习圆的相关性质，以及由圆的各种性质而得出的定理和推论．
问题1：请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？
问题2：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？
问题3：圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？
处理方式：
问题1可以放开让学生自由回答，如：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，圆内任意一点到圆心的距离小于半径等；若学生提到或未提到对称性，教师都可直接展示问题2和问题3，学生自己动手操作，并举手回答．
问题2第一问可直接得出，第二问若学生回答对称轴是直径，教师需要及时点拨纠正，第三问可以通过折叠的方法得出，然后教师追问，“你能得到几条对称轴？”
问题3第一问和第二问可直接得出，第三问可将圆心固定，将圆旋转180°，还能和原来的图形重合，此时教师可追问： “一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？”
最后，师生共同总结圆的对称性：
轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（板书）
旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与圆来的图形重合．特别的，当旋转180°时，中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（板书）
设计意图：圆的对称性对于九年级来说较为简单，所以同时给出问题，让学生自己探索，利用纸片直观的感受圆的基本性质，教师需要及时纠正并总结，并适时的进行追问，从而得到结论，为后续的学习打下基础．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：今天我们先来研究一下圆的旋转不变性，看看由它能够得到什么．先来看仔细观看（多媒体演示）．
第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′（图1），
第二步：将两圆重叠，并固定圆心（图2），然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合（图3）．

图1 图2 图3
问题1：通过操作，对比图1和图3，你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
问题2：由此你能得到什么结论？
处理方式：教师利用多媒体演示操作过程后，让学生对比操作的初始图与最终图，让学生发现对应关系，从而利用叠合法得到等量关系．学生会发现很多等量关系，如：∠AOB＝∠A′O′B′（已知），OA＝OB＝O′A′＝O′B′（半径），∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′＝∠O′B′A′，，AB＝A′B′．问题1在学生独立思考后提问回答，其他同学补充，最后板书答案（也可直接阅读课本）：
∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，
∴半径OB与O′B′重合．
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合．
即，AB＝A′B′．（这种利用重合来证明的方法叫做叠合法）
问题2引导学生观察条件和结论，总结出定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．（板书）
得出结论时，注意引导学生注意同圆或等圆条件，或提出若非同圆或等圆，结论是否成立．
设计意图：本环节是通过实验探索通过圆的旋转不变性来发现圆的另一个特性，此环节鼓励学生用多种手段和方法探索图形的性质，从而对于本节课所学的定理有一个本质性的认识，从而更好的掌握．
活动内容2：思考上述命题的逆命题是否成立，发散思维拓展新定理．
问题1：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所的对的弦相等吗？你是怎么想的？
问题2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
处理方式：先出示问题1，让学生进行充分的思考后再进行合作交流，对于前两问学生很容易就可以得出；对于第三问，教师需要适时点拨学生可仿照前面的证明方法进行推理：
∵半径OA与O′A′重合，，
∴点B与点B′重合．半径OB与O′B′重合．
∴∠AOB与∠A′O′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．
∴∠AOB＝∠A′O′B′，AB＝A′B′．
解决完毕问题1后，追问：
追问1：由此你能得到什么结论？
学生可以总结逆命题1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．（板书）
追问2：如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？
引导学生回忆等弧的概念，从而发现等弧就已经涵盖了同圆或等圆这个条件了，所以不加也可．擦掉“在同圆或等圆中”得到：相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．
然后再出示问题2，学生根据已有的学习经验可以得出结论：
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．
学生回答完问题2后，追问：
追问1：一条弦所对的弧有几条？
学生会发现，一条弦所对的弧有两条，从而发现原命题不够准确．
追问2：上面的命题怎样叙述能够更准确？
师生共同总结逆命题2：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等．（板书）
活动内容3：归纳总结定理
观察以上所得出的三条结论，你能将其总结为一条定理吗？
处理方式：学生先试着总结，如果不够准确可自己看教材并理解．教师利用板书，将三条定理归纳为一条定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（板书）
设计意图：本环节是本节课的关键环节，由老师进行精讲点拨，引导学生对原命题进行变化，从而得到两种逆命题，并对每一种变化进行适当补充.如等弧无需加同圆或等圆的前提条件，再如弦所对的弧有两种情况等.在逆命题都完成的情况下，及时进行总结，让学生随时回顾反思，从让学生讲三条定理综合起来，得到新的结论.
三、例题解析，应用新知
活动内容1：下面我们综合利用刚刚学到的知识解决一下下面一道例题.
例 如图4，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且．BE与CE的大小有什么关系？为什么？
处理方式：学生自主完成，一名同学板书，教师巡视并适时指导，规范步骤．
解：BE＝CE．理由是：
图4
∵∠AOD＝∠BOE，
∴．
又∵，
∴．
∴BE＝CE．
活动内容2：例题变式
变式：在例题的条件下，若C为的中点，你还能得到哪些等量关系？试确定四边形OACE的形状，并说明理由．
处理方式：第一问学生自由回答，只要理由充分即可．第二问可以让学生根据第一问的结果，并在充分的思考后进行交流，然后尝试写出证明过程，教师可利用口述或投影的方式，让学生展示答案．
设计意图：本环节主要通过例题，强化学生对于定理的理解和应用，期间主要规范学生的书写步骤．变式练习主要结合课后随堂练习第3题，将其融入例题中，让学生对于定理的应用有更高的提升．
四、回顾反思，达标检测
活动内容1：回顾反思
问题1：本节课你都学到了哪些知识？需要注意什么？
问题2：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．
处理方式：先出现问题1，让学生自己回顾本节课所学的定理，以及需要注意的问题后，举手回答，其他同学补充；再出现问题2，引导学生有意识地归纳、总结所使用的研究图形的方法，本节课使用的方法有多重，如叠合法、轴对称、旋转、推理证明等，先给学生时间思考交流后总结方法．
活动内容2：达标检测
必做题：
1.（2014·贵港）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（ ）
A.51° B.56° C.68° D.78°

图5 图6 图7
2. 如图6，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝DC，△ABC与△DCB全等？为什么？
选做题：
3.如图7，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,垂足分别为E，F.
（1）如果，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE＝OF，那么AB与CD的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？呢？
处理方式：根据教学时的剩余时间，以及学生的掌握情况，可以适当取舍题目，让学生自主完成．
设计意图：本环节设计了三道题目，分别是两道必做题和选做题，其中第1题是弧与圆心角的对应关系，第2题是弧与弦的对应关系，第3题为三者的对应关系并加入弦心距的证明，意在加强对本节课定理的应用．
板书设计：
投影区

定理
逆命题1 定理
逆命题2
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