八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 4 分式方程教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

4 分式方程
第1课时
一、教学目标
1.知识与技能
（1）理解分式方程的概念；
（2）能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．
2.过程与方法
体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．
3.情感态度及价值观
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．
难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．
三、教具准备
课件.
四、教学过程
（一）创设情境，引入新课
［师］在这一章的第一节《认识分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月．根据题意，可得方程－=4．（1）
我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．
接下来，我们再来看几个这样的例子．
（二）讲授新课
列出刻画现实世界的数学模型——方程．（多媒体出示）
1.［小麦实验田问题］
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦
9 000 kg和15000 kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．
你能找出这一问题中所有的等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg．
根据题意，可得方程_________ ___．
［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？
［生1］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．
［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？
［生2］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a）
［生3］还有一个等量关系是：
第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b）
［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？
［生］根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg．
［生］根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=．（2）
［师］，的实际意义是什么呢？
［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．
［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．
［生］根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：+3000=.（3）
［师］接下来，我们再来看一个问题.（多媒体出示）
2.［电脑网络培训问题］
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是x人，那么每人平均分摊___________元；
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．
根据题意，可得方程____________．
［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．
［生］由题意，可知：
实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c）
［生］还有一个等量关系为：
原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d）
［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？
［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．
［师］很好！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？
讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．
［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：
设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程－4=.（4）
［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实际参加活动的人数为，根据题意，利用等量关系（c），得方程2×=．（5）
［师］上面两个组的回答都很精彩，鼓励一下他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．
观察方程：－=4 （1）
= （2）
+3000= （3）
－4= （4）
2×= （5）
上面所得到的方程有什么共同特点？
［生］方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．
［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．
（三）随堂练习
1．已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程．
分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．
解：x满足的方程是101×=200．
2．某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？
解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40－x）人，销售人员有（80+x）人，根据题意得
=．
（四）课堂小结
这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．
（五）教学反思
第2课时
教学目标
1.知识与技能
（1）掌握解分式方程的一般步骤；
（2）理解检验分式方程的根的必要性．
2.过程与方法
（1）通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤；
（2）使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．
3.情感态度及价值观
（1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；
（2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．
二、教学重点、难点
重点：（1）解分式方程的一般步骤；
（2）检验分式方程的根的必要性．
难点：明确解分式方程验根的必要性．
三、教具准备
课件.
四、教学过程
（一）提出问题，引入新课
［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．
这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法．
解方程：+=2－
［师生共解］解：去分母，方程两边同乘分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2），
去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2，
移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4，
合并同类项，得23x=13，
系数化为1，得x=．
（二）讲解新课，探索分式方程的解法
［师］刚才我们一同回忆了解一元一次方程的步骤．下面我们来看一个分式方程．
［例1］解方程：=． （1）
［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？
［生］可以．
［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？
［生］乘分式方程中所有分母的公分母．
［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘分母的最简公分母，去分母也比较简单．
［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？
［生］x（x－2）．
［师生共析］方程两边同乘x（x－2），得x（x－2）·=x（x－2）·，
整理，得x=3（x－2）． （2）
［师］我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为了整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x．即去括号，得x=3x－6.移项、合并同类项，得2x=6.系数化为1，得x=3．
［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论．
（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）
［师］x=3是由一元一次方程x=3（x－2）（2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x=3代入方程（1）的左边==1，右边==1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解．
［师］请同学们用同样的方法完成例2的解答．
［例2］解方程：－=4.
（由学生在练习本上试着完成，然后师生共同解答）.
解：方程两边同乘2x，得600－480=8x.
解这个方程，得x=15.
检验：将x=15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，
所以x=15是原方程的根．
［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下.（多媒体出示，先隐藏小亮的解法）
议一议：
解方程：=－2．
（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并共同分析）
［师］我们来看小亮同学的解法：=－2.
解：方程两边同乘（x－3），得2－x=－1－2（x－3）
解这个方程，得x3．
［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解．
［师］检验的结果如何呢？
［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根．
［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？
［生］x=3是去分母后的整式方程的根．
［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．
（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）
［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．
［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根．
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？
［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．
［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？
学生先思考，教师再讲解.
［师］产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．
（三）应用，升华
1．解方程：（1）=；（2）+=2．
2．回顾，总结
想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．
［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．
3．解分式方程：
（1）=；
（2）=（a，h常数）.
（四）课堂小结
［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．
［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．
［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．
［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．
（五）教学反思
第3课时
一、教学目标
1.知识与技能
会利用分式方程的数学模型反映、解决现实情境中的实际问题．
2.过程与方法
经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力；
3.情感态度及价值观
（1）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；
（2）培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．
二、教学重点、难点
重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．
（2）根据实际意义检验解的合理性．
难点：寻求实际问题中的等量关系．
三、教具准备
课件.
四、教学过程
（一）提出问题，引入新课
［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．
接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．
（二）讲授新课
做一做（多媒体出示）
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
［师］现在我们一起来寻求这一情境中的等量关系．
［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1）
［生］还有一个等量关系：
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．
［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．
同学们尽管提出符合情境的问题．
［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？
［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？
［师］很好，下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？
［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元.根据题意，得=+500.
解这个方程，得x=12.
经检验x=12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
［生］根据第一问的答案可计算，得
第一年每间房屋的租金为=8 000（元），
第二年每间房屋的租金为=8 500（元）．
［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？
［生］解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元．第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为间，根据题意，得
= .
解得x= 8000.
x+500=8 500（元）.
经检验，x=8 000是原分式方程的解，也符合题意．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．
［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．
［例］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m3的部分每立方米收费多少元？
［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？
［生］审清题意，找出题中的等量关系．
［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.
用水量
单价
不超过5 m3
1.5元/m3
超过5 m3超出的部分
？元/m3
你们找到题中的等量关系了吗？
［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的．
［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？
［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费．
［师］下面我们就来用等量关系列出方程．
［师生共析］设超出5 m3部分的水每立方米收费为x元，则1月份张家超出5 m3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为5+ m3；
李家超出5 m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为（5+）m3.
根据等量关系，得+5=（+5）×.
解这个方程，得x=2．
经检验x=2是所列方程的根．
所以超出5 m3部分的水每立方米收费2元．
（三）随堂练习
小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本每本的价格各是多少？
［师］我们先来找到题中的等量关系．
［生］题中的等量关系有两个：
15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本；
硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+）.
［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．
［生］解：设软皮本每本的价格为x元，则硬皮本每本的价格为（1+）x元，那么15元钱可买软皮本本，硬皮本本．根据题意，得，=+1
解得x=5.
经检验x=5是原方程的根，也符合题意.
所以（1+）x=×5=7.5（元）.
答：软皮本每本的价格为5元，硬皮本每本的价格为7.5元.
（四）课堂小结
列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．
（五）教学反思