九年级数学从梯子的倾斜程度谈起 教案 北师大版.doc

第一课时 从梯子的倾斜程度谈起（一）
教学目标：
1 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，另外，能够用正切进行简单计算。
3.经历观察、猜想等数学过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
4.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
教学重点：
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切学生与生活的联系。
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示直角三角形中两边的比。
学情分析：本节课是在学生学习了直角三角形角之间的关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题，总结规律。同时建立比较系统的研究问题的方法，这后面学习正弦、余弦作铺垫。
教学过程：
一、 复习回顾，引入课题
问题1.在直角三角形中，知道一直角边和它所对的锐角是30°，你能求出其它的边和角吗？
问题2.在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其它的边和角吗？
通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。
一、 讲授新课
1.动手操作
步骤一：让学生拿出事准备好的梯子模型搭在墙上，先用量角器量出不同位置时倾斜角的度数，得出梯子的倾斜程度与倾斜角的变化有关。
步骤二：让学生思考如何用刻度尺来测量出梯子的倾斜程度。
步骤三：通过刚才两组实验，让学生观察梯子的倾斜程度与哪些角或边有关，初步感知梯子的倾斜程度，那么如何去比较在不同位置时梯子的倾斜程度呢？结合实际让大家在刚才两个实验的基础上动手操作，探索以下四个问题。
问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？
2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D

E
F

（图1）
学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流，最后总结出不同的方法。
方法总结如下：（1）测量 （2）BC与DF大小比较.（3）的大小比较.（4）过E点作EM∥AB等.
问题2：如图2，底与高都不等的两个梯子，哪一个倾斜程度大？
1.3m
1.5m
3.5m
4m
A
B
C
D

E
F

（图2）
问题3：请你来给梯子的倾斜程度下个结论吧。
2.理解正切的概念
做一做
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.

A
B1
C2
C1
B2

议一议A
B1
C2
C1
B2

直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
A
C
∠A的邻边
∠A的对边
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

议一议A
B1
C2
C1
B2

如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?与∠A有关吗?
结论：与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡.
与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.

例题：下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
β
6m
┐
5m
13m
┌
α

8m
甲

乙

解:甲梯中,

乙梯中，

∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
100m
60m
┌
α
i
议一议
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，
有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m
那么山坡的坡度i (即tanα)就是:

┍
1.5
┌
A
B
C
D
结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i (或坡比),即坡度等于坡角的正切.
三、随堂练习
a) 如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中
b) 所给数据求出tanC吗？

A
B
C
┌
c) 如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的
d) 点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山
e) 坡的坡度(结果精确到0.001m).

四、课堂小结：1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
作业：P6 习题1.1 1,2,3题