八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

14.2 乘法公式（第1课时）
【教材分析】

教
学
目
标
知识
技能
认识平方差公式并了解公式的意义，会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题.
过程
方法
通过推导平方差公式，提高学生将实际问题转化成数学问题的能力，进一步认识化归与数形结合的数学思想.
情感
态度
发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛.
重点
理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题.
难点
理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来.
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课

情
境
引
入
去年，狡猾的灰太狼，把一块长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植。今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，租金不变，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了。懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了.这是为什么呢？
复习：
1、多项式与多项式的乘法的计算方法是什么？
2、两个二项式相乘，在合并同类项之前应该有几项？合并同类项后呢？

教师创设情境，激发学生的求知欲望；

教师提出问题，引导学生思考，教师提示点拨，导入本节课题

自
主
探
究

合
作
交
流

（-）探究发现
1.用多项式乘多项式的法则计算下列各题：
；
；
；
仔细观察分析上面每小题的两个因式与计算结果，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来.
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、你能用具有一般性的字母表示这一规律吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2

（二）探究平方差公式的正确性
1、 公式的代数验证。
思考：由特殊到一般的不完全归纳法得出的规律是需要验证的，你能用我们学过的整式乘法的知识说明 (a+b)(a－b)=a2－b2这一公式的成立吗？

我们把这个规律（a+b）(a－b)=a2－b2 叫做平方差公式
2、 几何意义的验证。
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系． 

（三）实践探索，类比应用。
例1 用平方差公式计算
（1） (3x＋2 )( 3x－2 )；
（2） (b+2a)(2a－b)；
（3） (－3x－5)(3x－5).
【分析】运用平方差公式计算，关键是找准公式中的，然后才能套用公式.如：

解：（1） (3x＋2 )( 3x－2 )
=(3x)2－22
=9x2－4.
（2） (b+2a)(2a－b)
=(2a+b)(2a－b)
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
（3） (－3x－5)(3x－5)
=(—5－3x ) (－5＋3x)
=(—5)2 −(3x)2
== 25−9x2.
例2 下列各题能否用平方差公式计算，请说明理由，并计算。
（1）(y+2) (y−2) −(y −1) (y+5) ；
（2）102×98.
【解】（1）原式=(y2-22)-(y2+5y-y-5)
= y2－22－y2-5y+y+5
=-4y+1.
(2) 102×98
=(100+2)(100-2)
=1002－22
=10 000－4
=9 996.

教师出示问题1.
学生自主探究、合作交流、发现规律：
式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，
即：两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差.
这就是：平方差公式.

并猜想出：

教师提出问题，学生讨论解决：
∵(a+b)(a－b) =a2－ab+ab－b2 =a2－b2 ,
∴(a+b)(a－b)=a2－b2

教师出示问题的第2题.学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式的正确性.
教师引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的都有

教师出示例题1，
提问：题目条件是否符合平方差？若能，请找出本题中a和b分别表示什么？（注意：3x以及2b都应该以整体形式出现，必须加括号）
并安排三名学生板练.
学生练习，熟悉平方差公式及其结构特征、应用.
教师巡视，及时了解学生的学习情况，并针对个别在学习中有困难的学生进行个别辅导；引导学生运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座.
可以把这两个多项式中每一个多项式分成两部分，其中一部分完全相同，另一部分互为相反数.

教师出示例题2.
学生分析、讨论、训练，并总结这类题目的特点及处理方法、注意事项等等.

教师强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化计算，其余的仍按乘法法则进行.

尝
试
应
用
1．（2016•辽宁沈阳）下列计算正确的（）
A.x4+x4=2x8　　
B．x3•x2=x6　　
C．（x2y）3=x6y3　　
D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2
2.(威海中考)已知a-b=1,则a2－b2－2b的值为( )
A．4 B．3 C．1 D．0
3.练习： 判断下列式子能否用平方差公式计算.
(1) (－ a+b)(－a−b) ；
(2) (a−b) (b−a)；
(3) (a+b) (b+a) ；
(4) (－x+y) (y−x)；
(5) －(a−3b) (a+3b).
4.利用平方差公式计算：
(1)
(2)
(3)
(4)

教师出示问题，学生先独立思考，再合作，交流展示，师生共同评价
1、 【解析】x4+x4=2x4，故选项A错误；x3•x2=x5，故选项B错误；（x2y）3=x6y3，故选项C正确；（x﹣y）（y﹣x）=
﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误.故选C．
2. 【解析】a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.故选C.
3.（1）能；（2）不能；（3）不能；(4)不能；（5）能.
4.（1）解:原式=
=
（2）解:原式=
=
=
（3）解:原式=
=
=
=
（4） 解:原式
=
=
=

成
果
展
示
欣赏自我：本节课你学会了什么？
完善自我：对本课的内容你还有哪些疑惑？

教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.

补
偿
提
高

5.计算 99×101×10001.

教师出示问题，学生先独立思考，再合作，交流展示，师生共同评价
5.原式=(100-1)(100+1)×10 001
=(10 000-1)(10 000+1)
=100 000 000-1
=99 999 999.

14.2 乘法公式（第2课时）
【教材分析】

教
学
目
标
知识
技能
会对整式的乘法计算式进行适当的添括号，进而会运用乘法公式进行简便运算．
过程
方法
观察整式的乘法计算式，结合乘法公式的结构特点，对整式的乘法计算式进行适当的变形（通常要添括号）．然后利用平方差公式或完全平方公式进行简便计算．
情感
态度
在计算式变形的过程中，培养学生观察、类比、发现的能力和逆向思维能力，体验数学活动充满着探索性和创造性，体验转化思想，培养初步的辩证唯物主义观点．在灵活应用公式的过程中培养学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神.
重点
进一步理解及灵活应用乘法公式.
难点
在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课

情
境
引
入
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2）
（3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
去括号法则：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
教师提出问题，引导学生思考，教师提示点拨，导入本节课题
（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
或4-（5+2）=4-7=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c

自
主
探
究

合
作
交
流

探究：
1、把四个等式的左右两边反过来，即：
（1） 4+5+2=4+（5+2）
（2）4-5-2=4-（5+2）
（3） a+b+c =a+（b+c）
（4）a-b+c=a-（b-c）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，你可不可以总结出添括号法则呢？
添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
添括号、去括号原则：
形变值不变.
例1、 运用乘法公式计算：
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）；
（2）.
解：（1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.

（2）原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
教师提出问题，引导学生思考，学生分组讨论，教师关注：
①学生是否理解添括号法则. ② 学生是否知道检验添括号的方法——去括号.
师生评定添括号法则：
遇“加”不变，遇“减”都变．

教师出示例题：
教师请二位学生尝试训练，其他学生练习.巡视了解学生的学习情况，并针对个别在学习中有困难的学生进行个别辅导.

学生完成练习后，先小组内进行交流、讨论不同的解法，然后师生共同评析，找到最简便的方法.

教师关注：学生是否能结合乘法公式的特点，准确地添括号，然后利用公式进行运算.

尝
试
应
用
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ）
（2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ）
（4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-c=2a—（b-c）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2= —（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）—（4c-5）
3.运用乘法公式计算:
（1）(a + 2b–1 )2.
(2)(2x+y+z)(2x–y–z).

教师出示问题，学生先独立思考，再合作，交流展示，师生共同评价.
教师关注：
①学生是否能根据计算式的特点正确选取乘法公式.
②计算的准确性和灵活性.
1. （1）b-c
(2)b-c
(3) b+c
(4) -b-c
2、 （1）错；（2）错；
（3）错；（4）对.
3、（1）原式=[(a+2b)-1]2
=(a+2b)2 –2(a+2b)×1+12
=a2 +4ab+4b2 –2a-4b+1.
（2）原式=[2x +(y +z )][2x – y +z )]
=(2x)2 –(y+z)2
=4x2 –(y2 +2yz+ z2)
=4x2 –y2 -2yz- z2.

成
果
展
示
欣赏自我：本节课你学会了什么？
完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？

教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.

补
偿
提
高

4、计算：(xy-1+x+y)(xy-1-x-y).

教师出示问题，学生先独立思考，再合作，交流展示，师生共同评价
4、 解：原式=[(xy-1)+(x+
y)][(xy-1)-(x+y)]
=(xy-1)2-(x+y)2
=(x2y2-2xy+1)-(x2+2xy+y2)
=1-x2-y2+x2y2-4xy.