1、轴对称及轴对称图形(2)
教学目标
1.学习运用轴对称的定义和性质来作关于某条直线成轴对称的图形。
2.使学生能运用轴对称的定义和性质来解决一些实际问题。
3.通过作图使学生加深对轴对称定义及轴对称性质的理解，培养学生学会运用化归思想，提高分析问题解决问题的能力。
教材分析
教学重点：轴对称的作图
教学难点：如何运用轴对称的性质解决求几何极值问题。
教学过程
1.复习提问：
（1）轴对称的定义；
（2）轴对称的性质。
l
l
图3.15(1)
（3）画出图3.15（1）关于直线l的轴对称图形.
2. 作图
例1.
2、如图3.15(2)，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称．
分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．
图3.15(2)
作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，
得点A的对称点A1
（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1
（3）顺次连结A1、B1、C1
∴△A1B1C1即为所求.
例2.如图3.15(3)，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为A
3、C、BD，问：
（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）若AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．最短路程是多少？
解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，
图3.15(3)
在CD上作一点M，使AM+BM最小，
先作点A关于CD的对称点A1，
再连结A1B，交CD于点M，
则点M为所求的点．
证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1M1、A M1、BM1、AM
∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上
∴AM＝A1M，AM1＝A1M1
∴AM+BM＝AM1
4、BM＝A1B
在△A1 M1B中
∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小
（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD
∴△A1CM≌△BDM
∴A1M＝BM，CM＝DM
即M为CD中点，且A1B＝2AM
∵AM＝500m
∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m
例3.已知：如图3.15(4)，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE
图3.15(4)
求证：CE＝DE
证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF
∵AE＝BD， △ABC为等边三角形
5、∴BF＝BE， ∠B＝
∴△BEF为等边三角形
∴△BEC≌△FED
∴CE＝DE
课堂小结
（1）轴对称和轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言
联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合；二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于原轴成轴对称，反之，把两个成轴对称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形．
（2）解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形（找对称点）,二是关于实际应用问题“求最短路
6、程”．
课堂检测
1.在下列图形中，是轴对称图形的是( )
A、锐角三角形 B、射线 C、线段 D、直角三角形
2.等边三角形的对称轴有( )
A、一条 B、二条 C、三条 D、一条或三条
3.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A、有两个角相等的三角形 B、有一角为45° 的直角三角形
C、有两个角分别为50°与80°的三角形 D、有两个角分别为55°与65°的三角形
4.下列说法中，正确的是( )
A、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B、全等三角形是关于某直线对称的
C、两个图形关于某直线对称，则这两个图形
7、一定分别位于这直线的两侧
D、若A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN
5.如图3.15(5)，已知直线MN与MN同侧两点A、B.
求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN
提示：作A关于MN的对称点A1，连结A1B与MN交点即为P
6.如图3.15(6)，△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，P为AD上任意一点．
求证：AC－AB＞PC－PB
7.两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图3.15(7)中，已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)
1O.如图3.15(8)，点P在∠AOB内部，P关于OA、OB的对称点分别为P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm.求△PMN的周长为多少?
图3.15(8)
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