辽宁省辽阳市第九中学八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用教学设计（新版）北师大版.doc

1.3 勾股定理的应用
一、依据新课标制定教学重点：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题.
依据新课标制定教学难点：其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．

二、教学任务分析
1. 教学目标：
(1).通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
(2).在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
(3).在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．
2 知识目标：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
3. 能力目标：通过对问题的发现和解决，培养学生的相互协作意识及数学表达能力，体验探索、交流与成功。

四、教法学法
1．教学方法
引导—探究—归纳
本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：
（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；
（2）从学生活动出发，顺势教学过程；
（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程．
2．课前准备
教具：教材、电脑、多媒体课件．
学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．

五、教学过程分析
本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业．

第一环节：情境引入
内容：
情景1：多媒体展示：
提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？
情景2：
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
意图：
通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．
效果：
从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：合作探究
内容：
学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．
意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
效果：
学生汇总了四种方案：

A’
A’

A’

（1）　 （2）　　 　（3）　　 　 （4）
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，
情形（2）中A→B的路线长为：
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．
如图：
（1）中A→B的路线长为：．

（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．
注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题——分析实际问题；
2．建模——建立相应的数学模型；
3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．

第三环节：做一做
内容：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解答：（2）

∴AD和AB垂直．
意图：
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
效果：
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．

第四环节：小试牛刀
内容：
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则:
AB=2×6=12（km）
AC=1×5=5（km）
在Rt△ABC中:

∴BC=13（km）．
即甲乙两人相距13 km．
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
解答：.

3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解答：设伸入油桶中的长度为x m．
则最长时:
∴最长是2.5+0.5=3m）．
最短时: ．
∴最短是1.5+0.5=2（m）．
答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
意图：
对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算．
效果：
学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．

第五环节：举一反三
内容：
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
B
A
B
C
B
A

解：如图，在Rt△ABC中:
∵500＞202 .
∴不能在20 s内从A爬到B.
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺.
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.
即 52+ x2=（x+1）2.
25+x2= x2+2x+1.
2x=24.
∴ x=12，x+1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
意图：
第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．
效果：
学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．
学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．
注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．

第六环节：交流小结
内容：
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

第七环节：布置作业
1．课本习题1．4第1，2，3题．
2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?
注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．

六、教学设计反思
在设计中，我注重以下两点：
1．要充分利用好教材提供的素材
“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处．
2．合理使用教材提供的练习
本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理．