福建省泉州市泉港区三川中学中考数学一轮复习 方程（组）及其应用教案.doc

方程（组）及其应用教案
【课标要求】
(1) 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
(2) 会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）、简单的三元一次方程组、二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）．
(3) 理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
(4) 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
(5) 掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用．
(6) 能根据具体问题中的数量关系，列出方程（组），解决简单问题．
【课时分布】
方程（组）部分在第一轮复习时大约需要6个课时．下表为内容及课时安排（仅供参考）：
课时数
内 容
1
一元一次方程、二元一次方程组、简单的三元一次方程组
1
一元二次方程的解法、二元二次方程组
1
分式方程
1
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
2
方程（组）的应用

方程（组）单元测试与评析
【知识回顾】
1、知识脉络
方程（组）的应用
二元二次方程组
实际问题
方 程
一元一次方程
二元一次方程
三元一次方程
一元二次方程
二元二次方程
分 式 方 程
二元一次方程组
三元一次方程组

2、基础知识
方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程．
一元一次方程
①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是 ．
②一元一次方程的解法．
二元一次方程（组）
①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．
②由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．
③含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．
④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法．
三元一次方程（组）
①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程．
②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．
③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法．
一元二次方程
①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为(是已知数，)，其中分别叫做二次项，一次项；分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．
②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法．
③一元二次方程(是已知数，)的根的判别式（）：
(ⅰ)当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(ⅱ)当时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(ⅲ)当时，一元二次方程没有实数根．
以上结论，反之亦成立．
④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程(是已知数，)的两根为、，则．
二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）
①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．
②二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法．
分式方程
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．
列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④
列出方程（组）；⑤解方程（组）；⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句．
3、能力要求
例1 解二元一次方程组和三元一次方程组：
① ②
（1）
① ② ③
（2）
【分析】(1)因为方程②中的的系数为1，所以应把方程②变形为，然后把它代入方程①求出后再求即可．
（2）三个未知数的系数中最简单的系数是的系数，故考虑先消去，而消去的方法有①+③；②+③×2；①×2－②，我们选择①+③和②+③×2，消去同一个未知数，就可以得到关于与的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组．
【解】(1) 由②，得 ③
将③代入①,得
即
④
将④代入③,得
所以原方程组的解是
（2）①+③，得
即 ④
②+③×2，得 ⑤
④与⑤组成方程组，
解这个方程组得
把，代入①，得

所以原方程组的解是
【说明】本题主要考查学生的计算能力．教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题中的计算打好基础．该题体现了化归思想方法．请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组，并进行比较．
例2 解一元二次方程和二元二次方程组：
（1）
（2）
① ②
（3）
【分析】（1）解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法．本题通过尝试，选用公式法较为适宜．
（2）该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以，否则，方程将失根．
（3）题中方程②是二元一次方程，把它变形为，并把它代入方程①，可得到关于的一元二次方程．
【解】(1) ∵原方程中

（2）移项，提取公因式，得
或

(3) 由②，得 ③
把③代入①，得
即
解之得
当时，
当时，
所以原方程组的解是
【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力；该题不但考查了数学的转化（消元、降次）思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题．
例3 解分式方程：
（1）
（2）
【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数降幂排列，（1）的最简公分母是，（2）的最简公分母是．分式方程可转化为一元一次方程或一元二次方程．
【解】（1）原方程变形为
方程两边同乘以最简公分母，约去分母，得
解这个方程得
检验：把代入最简公分母，得
∴是原方程的增根．
所以原方程无解．
（2）原方程变形为
方程两边同乘以最简公分母，约去分母，得
整理得
解这个方程得
经检验，是原方程的根；是原方程的增根．
所以原方程的根是．
【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验．值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项．该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生．
例4已知：是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
【分析】题中有条件：是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根与系数的关系等；题中要求的值，应列出关于的关系式．
【解】因是关于的方程的两个实数根，
故

设所以
整理得 解之得
当时，△分别都大于
∴m的值1或5
【说明】本题考查的知识点是根的判别式，根与系数的关系，及绝对值的概念，解方程及方程组．教学时要求学生运用消元思想合理消去未知数，重视学生联想能力的培养．
例5 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？
（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
【分析】（1）由于甲、乙两校联合起来购买92套服装，因此每套服装的价格为40元．
（2）由于甲、乙两校共92人，甲校人数多于乙校人数，因此甲校人数多于46人；又由于甲校人数不够90人，因此甲校应按每套50元购买，乙校应按每套60元购买．
（3利用（2）的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；由于91×40＜90×50，即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少，因此，还需与按每套40元购买时的服装款比较．
【解】（1）由题意得5000－92×40=5000－3680=1320（元）
即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元．
（2）设甲、乙两所学校分别有名，名学生准备参加演出
由题意得： 解得：
答：甲、乙两所学校分别有52名，40名学生准备参加演出．
（3）因为甲校有10人不能参加演出，
所以甲校有52－10=42人参加演出
若两校各自购买服装，则需要42×60+40×604920（元）；
若两校联合起来购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元），
此时比各自购买服装可以节约4920－4100=820（元）；
但如果两校联合购买91套服装只需40×91=3640（元），
此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460（元）
所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）．
【说明】本题属于代数信息型开放题，考查学生对实际问题的分析、抽象、概括和计算能力；解题的关键是要从题目中所提供的信息，找出等量关系，建立方程或方程组．要求学生具备分类讨论思想和数学建模（方程（组））思想．
例6 已知：如图，矩形ABCD中，AD=a，DC=b．在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE= x．问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．
【分析】要使Rt△ADE, Rt△BEC, △ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此，可设在AB上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽ Rt△BEC即可解决．
【解】依题意，要使分成的三个三角形相似，
则∠AED+∠BEC=90°，而∠BEC+∠ECB=90°，
D
C
A
E
B
即∠AED=∠ECB，则△ADE∽△BEC
∴∴
整理得：

而
当即时，方程无实数解，即符合条件的点E不存在．
当即时，方程有两个相等的实数解，即点E存在，且只有一个，是AB的中点．
当即时，方程有两个不相等的实数解，都符合题意，即存在两个点满足条件．
【说明】本题是数形结合型题目．在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的有关知识来做．解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件，通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的；同时，还要注意分类讨论思想的运用．本题也可用与圆有关的知识解答．
【复习建议】
1、立足教材，打好基础，通过复习使学生提高计算能力，掌握方程（组）的基本知识，基本方法，基本技能．
2、注重实践操作依托思想理论的意识渗透．
3、重视情景（信息）问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力．
4、提高方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合运用能力，力争做到相互联系，融会贯通．
5、重视与社会发展相适应的一些实际问题，
增强用数学的意识．