八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中八年级下册数学教案.doc

18.2勾股定理的逆定理（1）
主备人：
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召集人

课题
18.2勾股定理的逆定理（1）
课时
第 1 课时
（总第 1 课时）
科任教师

教学
目标
知识与技能：体会勾股定理的逆定理的证明过程，掌握勾股定理的逆定理。
数学与思考： 在观察与操作的过程中，能提出自己的猜想，学会独立思考并能用几何语言表达出自己的猜想
问题与解决：通过画图探究勾股定理的逆定理的证明方法，提高学生动手操作能力。
情感态度：由实践到理论培养学生的兴趣和求知欲 。
重难点
重点：用构造性方法证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题
难点：勾股定理的逆定理的证明方法。

教

学

过

程

一、导入新课、揭示目标（2分钟左右）
1.体会勾股定理的逆定理的证明过程，掌握勾股定理的逆定理。
2.通过画图探究勾股定理的逆定理的证明方法，提高学生动手操作能力。
3.由实践到理论培养学生的兴趣和求知欲。
二、自学提纲（10分钟左右）
阅读教材内容，完成下列各题：
1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的
三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角
三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？
2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三
图18.2-1
角形是直角三角形吗？
3.如图18.2-1，若△ABC的三边长a、b、c满足
a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地
写出证明过程，由此你能得出什么结论？
4.问题3中的结论与勾股定理之间有怎样的关系？
5.例 在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求此三角形的面积。
三、合作探究，解决疑难（12分钟左右）
1．解决自学提纲中的问题。
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图18.2-2。这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。知道为什么吗？

图18.2-2

2. 用圆规、直尺作△ABC，使AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm和AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm。量一量∠C，它是90°吗？再画一个△ABC，使它的三边长分别是6cm、8cm、10cm，这个三角形有什么特征？为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？
（二）猜想 : 如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？
试着证明：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
勾股定理的逆定理　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？
（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=7，b=8，c=11.
解：（1）∵最大边是c=25，c2=625，
a2+b2=72+242=625，∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
（2）该三角形不是直角三角形.
四、巩固新知，当堂训练（10分钟）
1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4.
（2）a=9，b=7，c=12.
（3）a=25，b=20，c=15.
(4) a:b: c=3:4:5 。
五、课堂小结（3分钟）
通过本节课的学习，你有哪些收获？
六、课外作业，拓展延伸（8分钟）

讨论补充
记录

小组自学5分钟，然后讨论自学中遇到的疑难。

由问题1引导学生得出证明方法

讨论补充
记录

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教 学 反 思

18.2勾股定理的逆定理（2）
主备人：
时间

地点

召集人

课题
18.2勾股定理的逆定理（2）
课时
第 2 课时
（总第 2 课时）
科任教师

教学
目标
知识与技能：进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
数学与思考：能在解题过程中发展数感，能对勾股数进行归类，形成独立的思维能力。
问题解决：在自主、合作、探究过程中，解决相关问题，培养与他人合作的优良品质。
情感态度：培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重难点
重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用

教

学

过

程

教

学

过

程

一、导入新课、揭示目标（2分钟左右）
1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。
4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
二、学生自学，质疑问难（10分钟左右）
自学提纲：
1.例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形.
2.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4；（2）a=9，b=7，c=12；
（3）a=25，b=20，c=15；（4）a=15,b=8,c=17；
（5）a=13,b=14,c=15；（6）a=1.5,b=2,c=2.5.
3.什么样的数称为勾股数？除3、4、5外，你能再写出3组勾股数吗？想想看，可以怎样找？
4.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？
5.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积。

第5题图 第6题图
6.变式题：如图，若点B在四边形ABCD的内部，其他条件不
变，求这个四边形ABCD的面积。
三、合作探究，解决疑难（10分钟左右）
解决自学提纲中的问题。
1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4；（2）a=9，b=7，c=12；
（3）a=25，b=20，c=15；（4）a=15,b=8,c=17；
（5）a=13,b=14,c=15；（6）a=1.5,b=2,c=2.5.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
思考：除3、4、5外，再写出3组勾股数.想想看，可以怎样找？
思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？
3.例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形.
分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？
请同学们自己完成证明过程.
四、巩固新知，当堂训练（10分钟）
1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
2.△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
五、课堂小结（3分钟）
这节课你有什么收获？
六、布置作业（10分钟）

讨论补充
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注意勾股定理逆定理的正确使用

提示：等式适当变形，配成完全平方式

把多边形分割成特殊三角形，利用三角形面积公式求出

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教 学 反 思

18.2勾股定理逆定理（3）
主备人：
时间

地点

召集人

课题
18.2勾股定理逆定理（3）
课时
第3 课时
（总第 3 课时）
科任教师

教学
目标
知识与技能：灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题；进一步加深勾股定理和其逆定理之间关系的认识。
数学与思考：体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
问题解决：通过小组合作探究，提高综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。能较好地理解他人的思考方法和结论。
情感态度：培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重难点
灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题
教学过程
一、复习概念（3分钟左右）
1.勾股定理的内容是什么？在使用勾股定理时，要注意什么？
2.勾股定理的逆定理的内容是什么？
3.除了勾股定理，直角三角形还有哪些性质？还有哪些方法可以判定一个三角形是直角三角形？
二、解读目标（1分钟左右）
1.灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
2.进一步加深勾股定理和其逆定理之间关系的认识。
三、自学提纲（10分钟左右）
1.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD上一点,且CF= 0.25CD.猜想△AEF的形状,并证明你的结论.

第1题图

2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图所示，据气象部门报道：距沿海城市A的正南方向220千米B处有一个台风中心，其中心最大风力12级，距离台风中心20千米，风力会减弱一级。该台风正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心
风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受到台风影响。

第2题图
（1）该城市是否会受到此次台风的影响？请说明理由。
（2）若受到影响，那么台风影响该城市的持续时间为多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
3.已知a，b，c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 - b4,试判断△ABC的形状.
4，如图：在Δ ABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=
12㎝，求证：AB=AC.

第4题图
三、合作探究，解决疑难（10分钟左右）
1.问题1，可以通过计算三角形AEF的三边长，再由勾股定理的逆定理来判断其形状。
2.问题2，难度较大，可由小组合作来解决，老师根据巡视情况来确定是否再进一步提示。
3.问题3，学生在做这一题时，可能错误地把等式两边都除以a2-b2,导致结果错误。评讲时，一定要强调。
4.问题4，注意学生的书写规范，AD不是三角形ABC的高，不能直接用勾股定理来计算，也不能用三角形ABD与三角形ACD全等来证明。
四、巩固新知，当堂训练（10分钟）
1.一个三角形三边长之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高之比为（ ）.
A. 3:4:5 B. 5:4:3 C. 20:15:12 D. 10:8:2
2.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式|a+2b-18| +（b-18）2+|c-30|=0，那么△ABC是 _______三角形。
3.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
4.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你判断这个三角形的形状。
五、课堂小结3分钟）
1、勾股定理的逆定理的内容是什么？
2、勾股定理的逆定理的主要作用是什么？
六、课堂作业：（8分钟）

讨论补充
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问题1，老师可以提示，设正方形的边长为4a，用勾股定理及其逆定理来判断三角形AEF的形状。

讨论补充
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教 学 反 思