1、24.2 直角三角形的性质
1．理解并掌握直角三角形的性质；(重点)
2．能利用直角三角形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
二、合作探究
探究点一：直角三角形斜边上的中线的性质
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的
2、周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.
方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
探究点二：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4c
3、m，那么腰上的高是________cm，这个三角形的面积是________cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．故答案为2，4.
方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达
4、C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度
5、为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为＝2(h)，从A处到D处的时间为＝4(h)．∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
三、板书设计
直角三角形的性质：
1．直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2． 含30°锐角的直角三角形的性质
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.
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