九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定（第2课时）教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
矩形的判定
【教学难点】
矩形的判定及性质的综合应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、 复习引入
（1） 矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
二、探究新知
1.矩形的判定1：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
当 时，平行四边形为矩形。
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形

2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形
活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？

处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.
定理的证明：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明： 四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC,AB//DC
又∵BC=CB,AC=DB
∴ △ABC≌△DCB
∴ ∠ABC=∠DCB
∵AB//DC
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD
∴ □ABCD是矩形
3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形
活动内容1：一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD是矩形.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴ □ABCD是矩形
归纳：矩形的三个判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
三、例题讲解例
例1.判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ × ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ √ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形。 （ × ）
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ √ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。 （√）
例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例3、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4 OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
例1.如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD
是矩形的有_______（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：① ④
例2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.
分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；
根据题意可得△AMB≌△DMC，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD，得到∠A=90°，即得证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵M是AD的中点
∴AM=MD
∵MB=MC
∴△AMB≌△DMC(SSS)
∴∠A=∠D
∵∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
例3. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ 平行四边形 ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=，
.
练习：
A
B
C
D
O
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　B ）
A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC

解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= ___5___ 时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．
此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
故答案是：4．
3. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 __2.4____ ．
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD，即可得出结果．
（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，
∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3，
∴AD=．
∴四边形AEBD的面积=BD•AD═3×4=12．
五． 拓展提高
(1)对角线相等的四边形是矩形吗?(等腰梯形)
(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗?
归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形
几何语言：∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
例：已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH

∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
六、课堂总结
矩形的三个判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
七、作业布置
1.习题2.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
1.2.2矩形的性质与判定（二）
一、判定定理1： 判定定理2： 例1：
证明 证明

【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习矩形的性质，学生很容易可以猜想出矩形的判定。第二部分是合作探究证明矩形的判定。根据学生的猜想，让学生用矩形的定义来证明矩形的判定。第三部分是应用和检测。应用矩形的判定解决问题。