春八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形（第2课时）教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级下册数学教案.docx

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形(第2课时）
●教学目标
1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.
　2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.
● 过程与方法
　1.从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.
　2.让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.
●情感、态度与价值观
　1.让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.
　2.通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.
●重点与难点
　【重点】　菱形的定义和判定定理的运用.
　【难点】　探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
●教学准备
　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.
　【学生准备】　复习菱形的定义及其性质.
●新课导入:
　1.菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?
　学生思考、交流.
　在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.
图形
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
菱形
四条边都相等,对边平行
对角相等
垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角
　2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图).
　提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.

　学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形.

　计算下列各题:
　(1)菱形周长为20,一条对角线的长为8,则另一条对角线的长为　　　　. 
　(2)菱形的两条对角线分别为6,8,则这个菱形的面积为　　　　,边长为　　　　. 
　(3)菱形的一个内角为120°,一条较长的对角线的长为10,则菱形的周长为　　　　. 
　(4)上面的计算中,用到了菱形的哪些特性?
　学生先独立完成,同桌交流,并检查.
　(1)由“菱形的四条边都相等”得边长为5,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的另一条对角线的长为6.
　(2)由“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得菱形的面积为24,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的边长为5.
　(3)由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理建立方程,计算可得菱形的边长为,周长为.
　(4)上面的计算中,用到的菱形特性有:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直且平分;菱形的每一条对角线平分一组对角.
　提问:如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?
　根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.
　追问:要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?
　1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
　思路一
　提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?
　学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证.

　已知:在▱ABCD中,对角线AC⊥BD于点O,如图.
　求证:▱ABCD是菱形.
　小组讨论,交流:可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由∠AOB=∠AOD=90°及AO=AO,得△AOB≌△AOD,可得到AB=AD(或根据线段垂直平分线的性质定理,得到AB=AD),最后证得▱ABCD是菱形.
　学生整理证明过程.
　证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
　∴OB=OD,
　∵AC⊥BD,
　∴AB=AD,
　∴▱ABCD是菱形.
　通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:
　对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
　提示:此定理包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.
　用符号语言表述为:

　∵在▱ABCD中,对角线AC⊥BD,
　∴▱ABCD是菱形.
　思路二
　请指出下列命题的条件、结论及它的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.
　(1)菱形的对角线互相垂直;
　(2)菱形的四条边都相等.
　师生交流、实验、猜想、证明.

　命题“菱形的对角线互相垂直”的条件是:四边形是菱形,结论是:对角线互相垂直.它的逆命题是:对角线互相垂直的四边形是菱形.该逆命题是假命题.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,显然它不是菱形.
　追问:“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题,那么“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题,还是假命题?请说明理由.
　学生再分析发现:“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题.
　理由如下:

　已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.
　求证:▱ABCD是菱形.
　〔解析〕　要证明▱ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.
　证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
　∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
　又∵AC⊥BD,
　∴BD是线段AC的垂直平分线.
　∴BA=BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
　∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
　教师总结:通过大家猜想、证明,我们得到了菱形的一个判定定理.
　定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
　根据这个判定定理,以后要判定一个四边形是菱形,只需要满足两个条件:①对角线互相垂直;②平行四边形.
　用符号语言表述为:
　∵在▱ABCD中,对角线AC⊥BD,
　∴▱ABCD是菱形.
　2.四条边相等的四边形是菱形
　思路一
　已知线段AC,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D.所得四边形ABCD是菱形,你知道其中的道理吗?

　学生跟着老师一起画图,各抒己见.
　一生介绍自己的想法:
　由作法知四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
　∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
　∵AB=AD,
　∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
　教师引导学生经过猜想、证明,得出菱形的一个判定定理.
　定理:四条边相等的四边形是菱形.
　用符号语言表述为:
　∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
　∴四边形ABCD是菱形.
　学生讨论,交流.
　命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题.
　理由如下:

　已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
　求证:四边形ABCD是菱形.
　〔解析〕　根据菱形的定义,只需证四边形ABCD是平行四边形即可.
　证明:∵AB=BC=CD=DA,
　∴四边形ABCD的两组对边分别相等.
　∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
　∵AB=AD,
　∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
　师:通过大家猜想、证明,我们又得到了菱形的一个判定定理.
　定理:四条边相等的四边形是菱形.
　用符号语言表述为:
　∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
　∴四边形ABCD是菱形.
　至此,我们得到了菱形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用菱形的定义、定理来解决问题.
●课堂小结
　本节课你有哪些收获?
　学生归纳小结菱形的判定方法:
　(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
　(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
　(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.
●布置作业　
【必做题】
　教材第58页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第6题.
【选做题】
　教材第61页习题18.2第10题.
●教学后记：