广东省佛山市第十四中学山九年级数学下册 从梯子的倾斜程度谈起说课稿 北师大版.doc

从梯子的倾斜程度谈起说课稿

尊敬的各位老师：
你们好！这次我说课的内容是北师大版九年级数学下册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》。下面根据我编写的教案，把我对本节课的教学设计进行说明，请各位评委、老师多提宝贵意见。
一、教材分析
（一）地位和作用：《从梯子的倾斜程度谈起》是北师大版九年级数学下册第一章第一节，本节内容分二课时完成，本次课设计是第一课时的教学。本章中介绍的直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。锐角三角函数是在解决现实问题中有着重要的的作用。如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中的边角关系问题。本节从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比出来的。因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置。
（二）目标分析
依据《数学课程标准》,结合教材分析,确定本节课的教学目标为以下三个方面：
1.知识与技能目标：经历探索直角三角形中 边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算
2.过程与方法目标：经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
3.情感与态度目标：学生在学习中能积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
   （三）教学重点与难点
教学重点:
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系；
②会根据正切的定义进行计算求值。
依据《数学课程标准》的要求，本节课需要达到的知识与技能目标就是学习运用理解正切的意义和与现实生活的联系。能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。因此，我将这一内容定为本节教学的重点。
2．教学难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比。
根据新课程标准的要求，学生必须掌握直角三角形中的边角关系，并且对角的对边和邻边的比是角的正切进行理解，而对定义的理解学生不太容易，并且把边找错，所以把定义的理解和应用设计为难点。
二、学情分析
本节内容面对的是九年级的学生，他们有一定的数学基础与思维能力，反映敏捷，自我意识强，因此，可在思维上引领他们通过一系列探究活动发现知识，逐步培养学生自主学习的习惯和能力，体验知识的获得过程，感受合作学习的乐趣。
三、教法分析
《数学课程标准》提出要在课堂上充分发挥学生的主体作用。我通过游戏的方式来创设情景，设置引入——探究——应用——巩固——拓展五个环节的教学模式，旨在在课堂上培养学生的自主探究能力、合作交流能力，把课堂还给学生，达到知识的“发现”和领悟的目的，并能让学生在实践应用中提高自己的综合能力。我在教学中，充分利用了多媒体辅助教学，并主要运用了以下几种教学方法：
1、情境激智法：创设多种学习情境，激发学生参与思考的兴趣；
2、问题引领法：以教师设问，层层递进，引领学生发现知识；
3、以用促学法：通过设计实际应用事例，促进学生对知识的理解掌握；
四、学法分析
《数学课程标准》提出有效的数学学习过程不能单纯的依赖模仿与记忆，应通过探索活动使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。因此，在整节课的探索活动中，我设计了学生的合作交流、自主探究和实践应用活动。在具体活动中，我先让学生通过对情景问题的讨论产生困惑，再引导学生与老师共同探究梯子的倾斜角与直角三角形边的比之间的关系。通过这种合作交流、自主探索、动手实践的学习方式，培养了学生的探索能力，激发了学生的学习潜能。
五、教学过程的设计
为实现本节课的教学目标，结合教材、学情分析，我将本节课的教学过程设定为以下几个环节：
创设情境，初步感知

动手操作，合作探究

师生互动，探索新知

达标反馈，深化认知
布置作业，升华新知
一、创设情境，引入新课
　（幻灯片演示小游戏：“小蜗牛摘葡萄”）

　　[问题1]游戏规则如下：最快取到葡萄的选手获胜.如果你是参赛选手，你会选择哪个梯子？为什么？
　　[问题2]我们来观察一下，你会发现两个梯子的倾斜程度是不一样的，哪个梯子更陡些？你是怎样判断的?
　　我们今天的话题，就从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题1.1.1　从梯子的倾斜程度谈起）
　　【设计意图】
　　创设新颖的问题情境，使学生对所学内容——“梯子的倾斜程度”有初步的了解.激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力.
　　二、动手操作，合作探究
　　[师]梯子是我们日常生活中常见的工具.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?
[生]我们可以通过比较倾斜角的大小来比较两个梯子哪个更陡.
　　[互动一] ：“高等底不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”
　　请同学们看图，并回答下面的几个问题:
　　(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

[生]第一个梯子底部离墙近，所以陡。
　　（鼓励同学间小组合作交流，达成共识：在△EDF中DF上截取DG=CA，构造△EDG≌△BCA进而∠EGD=∠BAC,再利用外角知识，∠EGD＞∠BAC，梯子AB更陡一些.）
[互动二] ：“底等高不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”
(2) 在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

　【生】两梯子底部距墙根相同，第一个梯子顶部离地面远，所以陡。”
再次提醒孩子关注：梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？这个比与倾斜角的大小变化有何关系？
　　（幻灯片演示，梯子上升变陡过程中铅直高度和水平宽度的变化，得出结论：倾斜角越大——梯子陡；铅直高度与水平宽度的比越大——梯子陡.）
　　【设计意图】
　　由学生熟悉的全等知识入手，由特殊到一般去探索新知识，使新知识顺利纳入旧知识结构中，顺利完成新旧知识的同化和顺应.
借助于幻灯片展示变化过程，形象直观地展示一般的情况，使学生有一个感性的认识.
　　【互动三】底与高都不相等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？
1. 哪个梯子更陡？

【设计意图】让学生积极思考，孩子们会发现用刚才的方法很难判断。
于是，我适时点拨：把你的笔当作梯子，桌腿当作墙，变换倾斜度，看看有什么发现。
　　生1：我让笔越来越陡，发现倾斜角也随之越来越大。我决定测量倾斜角，比较哪个梯子更陡。
　　随后我又借机提出：倾斜角不易测量，有没有更好的方法呢?大家思考，在刚才的实验过程中，除倾斜角发生变化外，还有哪些量也发生了变化?有没有什么规律?
　　　生：我发现笔越来越陡，倾斜角的对边变长，邻边变短。
　　师：也就是随着笔变陡，倾斜角的对边与邻边的比值将会怎样变化？
　　生：越来越大。
　　师：所以我们可以通过计算倾斜角的对边与邻边的比值来比较梯子的倾斜程度。下面大家计算一下。
　　生：通过计算，第二个梯子更陡。

　　（学生应用探索出的结论，用铅直高度与水平宽度的比来得出梯子EF更陡.）
　　2. 你能证明为什么角度一定，对边与邻边的比值一定吗？

　　若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
　　(提出想法，在AB1上选取可测量的点B2，过点B2作B2C2⊥AC1，垂足为C2，在RT△AC2B2中用B2C2与AC2的比来反映梯子的倾斜程度.)
　　[问题](1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
　　(2)有什么关系?
　　(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
　　　如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B1C1A，仍能得到 .因此，无论B2在梯子什么位置(除A外)，总成立.
　　“由感性到理性”(幻灯片演示B2在梯子上的不同位置时的情况)
由学生观察分析后得出结论：直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.
【设计意图】通过这一环节的设计进一步把正切加以升华．此时教师完全把课堂的主动权交给大家，让他们自己去逐一识别、摸索规律、得出结论．在生活中我们时常发现，越是容易得到的东西，一般不会去珍惜，容易忘掉，相反来之不易的东西往往会倍加珍惜，记忆时有的甚至终身难忘．这样安排就是要注重知识的获得过程，给予学生足够的时间和空间，为探索出本节课的新知识提供机会．
于是，对于直角三角形中锐角A的对边与邻边的比，我们有如下定义：（幻灯片演示)

　如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即
tanA= .（强调∠A的邻边为直角边）
四、达标反馈，深化认知
　　（一）思考：
　　如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?与∠A有关吗?

　　[生]与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡；与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.
　　【设计意图】
此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作让学生学会由“特殊到一般”、数形结合及函数的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.
（二）一显身手：
1、判断对错:
如图， 1) tanA=

2.判断对错: 如图，

（1） tanA=　　(2) tanA=（ ） (3)tanA=（ ） 　
　(4)tanA=0.7m （ ） 　(5) tanB=（ ）
　　3. 在Rt△ABC中，三边都同时扩大10倍，则锐角∠A的正切值（ ）
　　A.扩大10倍　　　　 B.缩小10倍 　　　　　　C.不变　　　　　　 D.不能确定
　　4.填空：

　　（1） tan_____= , tan_____= ，tanA·tanB=_____ ；
　　2） 如图, ∠ACB=90°CD⊥AB，则tan∠ACD=______， tanB=________.
　　【设计意图】
　　通过典型习题帮助学生理解正切函数的定义，并初步探索互为余角两锐角的正切之间的关系，学生容易出错的地方正是定义中需要强调的地方，这时候让学生总结定义中需要注意的地方，就水到渠成了.
　　定义的几点说明：
　　1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
　　2. tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.但∠BAC的正切表示为tan∠BAC，∠1的正切表示为tan∠1.
　　3. tanA＞0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.
　　4. tanA不表示“tan”乘以“A”.
　　5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
　　（三）例题讲解
　　例1. 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

　　分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.
　　解：甲梯中， tanα= .
　　乙梯中， tanβ= .
因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.
　　[师] 生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
　　“用数学去解释生活”
　　如图正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是

　　[师]坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
　　（四）随堂练习
　　1. (1)如图1,BD是△ABC的角平分线,你能判断△ABC是什么三角形?你能根据图中所给数据求出tanC吗?

　　(2)如图2，求tanC=（ ）
　　A. 1 　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　 C.
　　2.某人沿一斜坡的底端B走了10米到达点A，此时点A到地面BC的垂直高度AC为6米，则斜坡AB的坡度为多少？

　　[分析]求坡度 → tanB → RT△ABC: →勾股定理求BC.
（此处向学生渗透分析数学问题的一般思路——逆推法.）

　　3.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,AD=6,BC=14,S梯形ABCD=40,求tanB的值.
　　（此题旨在提示学生：求锐角三角函数要处理好直角三角形这个前提.）
　　4.一个直角三角形两边长分别为3、4，则较小的锐角的正切值是________.
5.如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．

【设计意图】
　　通过不同层次的练习题的配备，使学生对概念进一步深化理解.
　　五、布置作业，升华新知
（一）回顾、反思、深化
　　1.正切的定义.
　　2.梯子的倾斜程度与tanA的关系.（∠A和tanA之间的关系）.
　　3.数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
　　4.“一般 → 特殊 → 一般” 数学思想方法.
　（二）知识的升华
　　1.习题1.1第1、2题.
2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡？
3.在Rt△ABC中，当∠A确定时，除∠A的对边与邻边之比确定外，还有哪些边的比值也确定?
【设计意图】前两道题目主要是对今天所学的知识的巩固加深，而第3题则既是这堂课的延伸，同时也是下一节课内容的一个预告。
　　（选做题）
　　直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tan∠CBE的值是多少？

【设计意图】分层次教学的体现，既让中等生吃饱，又让优等生吃好。是对本堂课内容的一个高度的提升。
板书
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)
　　1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.
　　2.正切的定义：
　　在Rt△ABC中，锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即
　　 tanA＝.
　　注：(1)倾斜角越大，tanA的值越大，梯子越陡.
　　(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.
　　3.例题讲解(略)
　　4.随堂练习
　　5.课时小结