1、平方根 例题解析
例 1 求下列各式的值：
（ 1 ）；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ）
分析
（ 1 ） 表示 1.21 的算术平方根，所以它的计算结果是一个非负数；
（ 2 ） 表示 81 的负的平方根（或表示 81 的算术平方根的相反数），所以它的计算结果是一个负数；
（ 3 ） 表示 的平方根，所以它的计算结果应该是两个互为相反数；
（ 4 ） 表示 的算术平方根，它的结果一定是非负数．
解答
（ 1 ）∵ ＝ 1.21 ，∴ ＝ 1.1 ；
（ 2 ）∵ ＝ 81 ，∴ ＝－ 9 ；
（ 3 ）∵ ，∴
2、 ；
（ 4 ）∵ ＝ ，∴ ＝ 25 ．
点评
平方根的符号有三种形式： ， ， ，它的意义分别是：非负 a 的平方根，非负数 a 的算术平方根、非负数 a 的负的平方根，要特别注意：非负数 a 的平方根是 而不是 ， ≠ ．
例 2
（ 1 ）下列结论错误的个数为（ ）
① ② 的算术平方根是 4
③ 的算术平方根是 ④ 的算术平方根为± p
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
（ 2 ） 的平方根是（ ）
A ． 2 B ．± 2
3、 C ． D ．
（ 3 ）下列各式中，正确的是（ ）
A ． ＝± 4 B ． ＝ 4
C ． D ． ＝－ 27
分析
本题主要考查平方根及算术平方根的概念：
（ 1 ）①错， ；②错， ＝ 4 ， 4 的算术平方根为 2 ；③对， ．④错．算术平方根不可能为负数；（ 2 ） ，所以 2 的平方根是 ；（ 3 ） A 错，等号左边表示的是算术平方根，右边却是正负两个值； B 错，等号左边表示的是平方根，右边应该是± 4 ； C 对，因为 是 2 的算术平方根，由算术平方根的定义可得 ； D 错， 表示 的算术平方根，不可能得－
4、27 ．
解答
（ 1 ）选 C （ 2 ）选 D （ 3 ）选 C
点评
本例（ 1 ）小题考查算术平方根的概念，任何非负数的算术平方根都是非负数；（ 2 ）小题考查对平方根的概念的灵活运用，任何一个正数 a 都有两个平方根．此题应先将所要求的平方根的数计算出来， ＝ 2 ，实际上是求 2 的平方根，如果没有正确理解平方根的概念，知道任何正数的平方根都是成对出现的话，解这类题极易出错；（ 3 ）小题主要考查平方根的表示法，解题的关键是弄清， ， 的意义，注意等号的左右两边应该是相等的．
例 3 某地开辟了一块长方形的荒地，新建了一个以环保为主题的公园，已知这块
5、荒地的长是宽的 2 倍，它们的面积为 400 000 ．
（ 1 ）公园的宽大约是多少？它有 1 000 m 吗？
（ 2 ）如果要求误差小于 10 米，它的宽大约多少？
分析
可以设法建立关于宽的方程，利用方程求解．
解答
（ 1 ）设这块长方形的荒地宽为xm ，则长为2xm.
依题意得 x · 2 x ＝ 400 000 ，即 ．
由于 ＝ 10 000 ，而 ＝ 1 000 000 ，故有 100 ＜ ＜ 1 000 ．
所以公园的宽大约几百米，而不足 1 000 米．
（ 2 ）因为： ＜ 200 000 ＜ ， ＜ 200 000 ＜ ，
所以它们的宽大约是 440 米或 450 米．
例 4 已知 a 、 b 为实数， ，求 a 、 b 的值．
分析
由算术平方根的意义，得：
解不等式组得 a ＝ 5 ，把 a ＝ 5 代入已知的等式中，便可求出 b
解答
根据算术平方根的意义，得： ，解不等式组得 a ＝ 5 ．
把 a ＝ 5 代入 ，得： b ＋ 4 ＝ 0 ．
解得 b ＝－ 4 ，所以 a ＝ 5 ， b ＝－ 4 ．
点评
式子 具有双重非负性，即 a ≥ 0 ， ≥ 0 ．
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