1、第五单元 三角形
第25课时 解直角三角形的应用
教学目标
【考试目标】
能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
【教学重点】
掌握仰角、俯角，坡度、坡角，方向角等概念；学会把实际问题抽象化.
教学过程
一、 体系图引入，引发思考
二、引入真题、归纳考点
【例1】（2016年呼和浩特）在一次综合实践活动中，
小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶
端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为
80m．她先测得∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走
30m到达D点，又测得
2、塔顶E的仰角为50°，求塔高AE．
（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=35°，BC=80m，
∴cos∠ACB= AC/AB，∴AC=80cos35°.
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AE/AD，
∵AD=AC+DC=80cos35°+30，
∴AE=（80cos35°+30）tan50°．
答：塔高AE为（80cos35°+30）tan50°m
【例2】（2016年临沂）一艘轮船位于灯塔P南偏
西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行
多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处
（参考数据： ≈
3、1.732，结果精确到0.1）？
【解析】如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=PC//AP，∴PC=20•cos60°=10，
在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=10，
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏
西45°方向上的B处．
【例3】（2016年济宁）某地的一座人行天桥如图
所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了
方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使
新坡面的坡度为1： .
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原
4、天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆
桥？请说明理由．
【解析】（1）∵新坡面的坡度为1： ，
∴tanα=tan∠CAB= = .
∴∠α=30°． 答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除． 过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1： ，∴BD=CD=6，
AD=6 ，∴AB=AD﹣BD=6 -6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．
【例4】如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面
示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以
点A为支撑
5、点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．
已知OA=OB=10cm．
（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）
（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截
的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断
部分的长度．（结果精确到0.01cm） （参考数据：sin9°≈0.1564，
cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）
【解析】（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C，则AB=2BC，
∠BOC=12∠AOB=9°，∴在Rt△OBC中，
BC=O
6、B×sin9°≈10×0.1564=1.564(cm).
∴AB=2×1.564=3.128≈3.13(cm).
答：所作圆的半径约为3.13cm.
（2）∵∠B=12(180°-∠AOB)=81°＜90°，故可在BO上找到一点D，
使得AD=AB，此时所作圆的大小与（1）中所作圆的大小相等.如图，
过点A作AE⊥OB于点E，则BD=2BE.
在Rt△AOE中，OE=AO×cos18°≈10×0.9511=9.511(cm)，
∴BE=10-9.511=0.489(cm)，
∴BD=2×0.489≈0.98(cm).
答：铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对与解三角形的实际问题的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.
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