江苏省金湖县实验中学八年级数学《特殊的平行四边形、梯形》教案.doc

特殊的平行四边形、梯形二. 重点、难点： 1. 学习重点： （1）理解矩形、菱形、正方形的特性。 （2）理解等腰梯形的特性。 2. 学习难点： （1）理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系。 （2）理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系。【典型例题】一. 矩形： 1. 矩形的概念： 有一个内角是直角的特殊的平行四边形，就是矩形，也就是以前常说的长方形。如图1： 2. 矩形的特性： 矩形是平行四边形，因此平行四边形所有的性质，矩形都有，但矩形是特殊的平行四边形。因此，它还有一些特性。 （1）矩形是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，因此可知矩形有两条对称轴。 （2）矩形的四个角都是直角。 实际上，如图1所示，若BAD是直角，由AD/BC知ABC是直角，由AB/DC知ADC是直角。同理可知，DCB是直角，故矩形四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分。 矩形是平行四边形，故其对角线互相平分。 在图中，矩形的四个角是直角，如果绕着对角线的交点O旋转，会发现将其旋转COD的度数，AC与BD将会重合，故其长度相等。 例1. 矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AOD120，证明：AC2AB。 证明：在AOD中，AOD120，故其补角AOB60 即有OAOB 而AOB60 故AOB是等边三角形 有OAOBAB 故AC2AO2AB 3. 矩形的识别方法： （1）如果在一个平行四边形中，能找到一个角是直角，则其是矩形。 如图3，先判定四边形ABCD是平行四边形，再判定其中有一个角是直角。 （2）如果在一个平行四边形中，其对角线相等，则此平行四边形是矩形。 如图3，如果在平行四边形ABCD中，有ACBD，则平行四边形ABCD是矩形。 （3）如果在一个四边形中，有三个角是直角，则此四边形是矩形。 如图3，如果在四边形ABCD中，ABC，ADC，CBA，CBA，CDA中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形。 例2. 说明：平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形。 分析：此题应先作图，再写已知，最后说明。 已知：如图4所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CN、DM分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线。 说明：四边形HGOK是矩形 解：在平行四边形ABCD中，AB/CD 所以DABADC180 因为AE、DM是DAB、ADC的平分线 所以1290，所以AKD90 所以OKH90 同理，AOGCHD90 故四边形HGOK是矩形二. 菱形： 1. 菱形的概念： 四条边都相等的平行四边形就是菱形，如图5所示，四边形ABCD就是菱形。 菱形即是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，共有两条对称轴。 2. 菱形的性质： （1）菱形的对角线互相垂直平分 如图5所示，在菱形ABCD中，AOOC，OBOD，且ACBD。 （2）菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形。 如图5所示：在菱形ABCD中，ABO、BCO、CDO、ADO是全等的，故四个小三角形的面积也相等。 例3. 如图6所示，在菱形ABCD中，BAD2B，试说明ABC是等边三角形。 解：因为四边形ABCD是菱形，所以ABBC 又BBAD180 而BAD2B 故B60 在等腰ABC中，B60 故ABC是等边三角形 3. 菱形的识别方法： （1）用定义识别：四条边都相等的四边形是菱形。 如图5，如果在四边形ABCD中，ABBCCDDA，则四边形ABCD是菱形。 （2）对角线识别： 如果平行四边形的对角线互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形。 如图5，在平行四边形ABCD中，如果ACBD，则四边形ABCD是菱形。 （3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 如图5，在平行四边形ABCD中，如果ABAD，或ADDC，或DCCB，或CBAB，则四边形ABCD是菱形。 例4. 如图7，AD是ABC的角平分线，DE/CA交AB于E，DF/BA交AC于F。 求证：四边形AEDF是菱形 证明：在四边形AEDF中， 因DE/AC，故DE/AF 因DF/AB，故DF/AE 所以四边形AEDF是平行四边形 又AD平分BAC，12 而AB/DF，知1ADF 故2ADF AFD是等腰三角形，AFDF 由识别方法3知，四边形AEDF是菱形。三. 正方形： 正方形是以前早就认识的特殊图形，在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，所以正方形可以看作： 有一角是直角的菱形。 有一组邻边相等的矩形。 它拥有菱形、矩形的一切特性。 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它共有四条对称轴。 在正方形中，对角线之间的夹角是90，对角线与边的夹角是45。 例5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CEAC，连结AE，交CD于F，求AFC的度数。 解：在正方形ABCD中，AC是对角线，故ACB45 而ACCE，故CAECEA，且CAECEABCA45 故E22.5 而AFC是CEF的一个外角 故AFCEFCE22.590112.5四. 梯形： 1. 定义： 只有一组对边平行的四边形叫梯形，即梯形中有一组对边不平行，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。 实际上，梯形可以看作是由一个平行四边形和一个三角形组合而成。 如图9所示，梯形ABCD可看作由平行四边形ABED和DEC组合而成。 另外，梯形也可看作是过三角形一边上一点作另一边平行而得到的，如图10。在ABC中，DE/BC，可知四边形BCED是梯形。 2. 等腰梯形的性质： （1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等。 如图11，在等腰梯形ABCD中，BADADC，ABCBCD。 （2）等腰梯形的两条对角线相等。 在图11中，如果四边形ABCD是等腰梯形，则有ACBD。 例6. 如图12，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E，试说明EBC和EAD都是等腰三角形。 解：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BC。 在EBC中，有EBEC 因此，EBC是等腰三角形 又ABDC 故EBABECDC 即EAED 故EAD是等腰三角形 例7. 如图13，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，CE/DA，已知AB8，DC5，DA6，求CEB的周长。 解：因为AB/DC，CE/DA，故四边形AECD是平行四边形 从而CEDACB6，AEDC5 EBABAE853 于是CEB的周长为CEEBBC63615 例8. 如图14，梯形ABCD中，AD/BC，B50，C80，试说明BCADCD。 解：过点A作AE/DC交BC于E 所以，AEBC80 又B50 故BAE180508050 BAEB，AEBE 又AD/BC，故AD/EC 四边形ADCE是平行四边形，ADEC，AEDC 故BCADBCECBEAEDC本课小结 1. 本课主要讲解了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性质及矩形、菱形、正方形的识别方法，在整个过程中主要以基础知识为主，希望同学们掌握这些特殊图形的基础知识。 2. 本课另外还研究了矩形、菱形、正方形及梯形之间的内在联系与区别，请同学们在学习时引起重视。【模拟试题】 1. 矩形ABCD中对角线AC、BD相交于O，过顶点C作BD的平行线与AD的延长线相交于点E，试说明ACE是等腰三角形。 2. 如图，菱形ABCD中，AEBC于E，若BAE20，试求EAC的度数。 3. 在RtABC中，CF是直角平分线，FDCA于D，FECB于E，四边形CDFE是什么四边形？为什么？ 4. 在梯形ABCD中，AB/CD，ADBC，延长AB至E，使BEDC。 求证：ACCE 5. 从菱形的两条对角线的交点分别向各边作垂线，说明：连结垂足的四边形是矩形。【试题答案】 1. 解：在矩形ABCD中，ACDB，故 即，有ODAOAD 同理，OCBOBC 又AD/CB，ADOOBC 故ADODAO 而EC/DB，故EADO 所以EDAOEAC EAC是等腰三角形 2. 解：因AEBC，而BAE20 故在三角形BAE中，B70 又四边形ABCD是菱形，故BABC，BACBCA 又BAE20 故EAC35 3. 解：在四边形CDFE中， FDCA，故FDC90 FECB，故FEC90 又ECD90 故四边形FECD是矩形 又CF是ECD是角平分线，故 ECF45，CEF90 故CFE45 CEF是等腰三角形，ECEF 故四边形EFDC是正方形 4. 证：在四边形BEDC中，BEDC，又BE/DC 故四边形BEDC是平行四边形 有CEBD 而在梯形ABCD中，ADBC，故BDAC 所以CEAC 5. 解：在菱形ABCD中BD、AC是对角线，故AC平分BAD 即EAONAO 又AEOANO90 故AOEAON 由上面三组角的关系知道，AON和AOE对称。 有ONOE，EON是等腰三角形 而NOPEOP，由三线合一知，OPEN，OAEN 同理：OCMF，MF/EN OBEM，ODNF，EM/NF 四边形EMFN是平行四边形 而在菱形ABCD中， 由ONOE的推理知：OMOF 故EOOFONOM EFMN 在平行四边形EFNM中，EFMN，故其是矩形。