1、三角形内角和定理的证明及推论1、2
1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；(重点、难点)
2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；
3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．
一、情境导入
问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看．
三角形的内角和是否为180°？
从拼角的过程你能想出证明的办法吗？
二、合作探究
探究点一：三角形内角和定理的证明
如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．
2、1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；
(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.
解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．
解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.
理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；
(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180
3、°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．
探究点二：直角三角形的两锐角互余
直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．
解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．
如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝(∠ABC＋∠BAC)＝45
4、°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.
方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．
探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB
5、∥CD.
解：△AHC是直角三角形．理由如下：
因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.
又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，
所以∠1＝∠BAC，∠2＝∠DCA，
所以∠1＋∠2＝(∠BAC＋∠DCA)，
所以∠1＋∠2＝90°，
所以△AHC为直角三角形．
方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．
三、板书设计
教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦．在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法．课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展．
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