九年级数学下册 3.4.2 圆周角和圆心角的关系教案2 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3.4.2 圆周角和圆心角的关系
教学目标：
1. 掌握圆周角定理的两个推论,会熟练运用这两个推论解决相关问题。
2．掌握圆的内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用。
3．通过实际问题的解决，体会建立数学模型解决实际问题的过程，养成用数学的思维方式思考问题的习惯.
教学重点与难点：
重点：圆周角定理的两个推论及圆的内接四边形性质的应用.
难点：理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，导入新课
活动内容：（课件出示）
某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图1所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和A，B两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图2所示的一个圆环．

想一想：你能说明其中的原因吗？线段AB表示的是什么？它所对的角度是多少度？这是一个怎样特殊的角？
学生猜测：线段AB可能是直径，它所对的角度应该是90°.
上节课我们了解了圆周角定理，这节课我们探究一下特殊的弦—直径所对的圆周角的特征.学完这节课你就能说明其中的原因了.
板书课题：3.4 圆周角和圆心角的关系（2）
处理方式：联系生活,思考实际问题,引入新课.
设计意图：利用情景引入，吸引了学习时的注意力，激发了他们的求知欲望,使他们急于想知道答案，同时也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容，一举两得.
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：自主探究圆周角定理推论
如教材图3-17，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？

处理方式：学生动手操作，作出直径BC不同方向的圆周角，完成后运用自己的方法进行判断. 运用量角器,直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°.
得出圆周角定理推论二：直径所对的圆周角是直角.
想一想:反过来，如教材图3-18，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？

处理方式：学生分组讨论，统一意见，师参与其中，及时给与指点。代表发言：弦BC是直径．如图，连结OB、OC，∵圆周角∠BAC=90°，∴圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，所以BC是⊙O的一条直径．
师重点提示：这里要分别连接OB，OC，而不是直接连接BC.

得出圆周角定理推论三：90°的圆周角所对的弦是直径．
总结运用圆周角的推论作辅助线的口诀记忆法：“见直径出直角”；“见直角连直径”.
设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.
活动内容2：圆内接四边形的性质
圆内接四边形的概念：
四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆.
课件出示：
【议一议】如教材图3-19，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？

生观察后，直接回答：∠BAD+∠BCD=180°.并说明理由∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°.∴∠BAD+∠BCD=18.
变式训练：如教材图3-20，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？

学生小组交流后得出结论：∠BAD+∠BCD=180°或互补.代表说明理由：∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°，那么它们所对的圆心角的和也是360°，∴它们所对的圆周角∠BAD和∠BCD的和是180°.
总结圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
处理方式：对于特殊情形下的说明可以完全交给学生独立完成,对于一般情况的讨论有点难度,老师可适当引导，之后让学生说出证明过程,并总结出圆内接四边形的性质.
设计意图：通过互相交流讨论，总结规律。通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生逐步得出探究问题的数学思想方法“由特殊到一般”．
活动内容3：圆内接四边形外角的性质
如教材图3-21，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？

学生思考、讨论后展示：由圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,又∵∠BCD +∠DCE =180°，∴∠A=∠DCE.
能力提升：你能用文字语言描述这一结论吗?
学生小结：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
处理方式：先给学生时间审题并思考，再说出结果.对于这一结论的文字语言叙述教师要适当引导补充.
三、联系生活，应用新知
例1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（　　）
A．52° B．54° C．56° D．60°

【解析】：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．
【答案】B

例2. 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?
（先由学生分析讨论，然后师生共同分析）
解：BD=CD．理由如下：连结AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
即AD⊥BC．
又∵AC＝AB,
∴BD＝CD．
设计意图：通过例题让学生明白运用直径构造直角或垂直来解题往往会起到曲径通幽的效果．
四、回顾反思，提炼升华

在得出本节课结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.
（学生分组小结，各组代表发言交流，教师及时给予肯定、赞扬.）
1.学生总结本节课用到的方法：
（1）度量与证明：比如说在探究直径所对的圆周角这一定理时.
（2）类比：比如说在探究圆内接四边形的性质时.
（3）由特殊到一般：比如说在探究圆内接四边形的性质时.
2. 运用圆周角的推论作辅助线的口诀记忆法：
（1）直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角”；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径”.
设计意图：通过对问题的探究，不但进一步理解了圆内接四边形的性质，同时又得出了内接四边形的外角的性质，一举两得,收获颇多. 使学生体验交流的快乐，感受成功的喜悦。使学生对本节内容有一个更系统、更深刻的认识，提高学生自主建构知识，解决实际问题的能力，达到触类旁通。
五、达标检测，反馈提高
师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
A组：
1．（2014•台州）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）

2．如图所示，BD是⊙O的直径，∠A = 30°，则∠CBD=_________ ．
A
B
C
D
O

3. （2014•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=_________.
B组：
4.（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本83页，习题3.5第1题、第2题、第3题．
选做题：课本84页，习题3.5第4题
板书设计：
3.4 圆周角和圆心角的关系（2）
1.圆周角定理推论：
直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径．
2.圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补.
3.圆内接四边形外角的性质:
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

例1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（　　）

例2 .如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?

达

标

检

测