初三数学第一学期 圆的认识 华东师大版.doc

初三数学第一学期 圆的认识一. 本周教学内容： 圆的认识二. 教学重点、难点： 重点： 1. 垂径定理及推论的理解与应用。 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及应用。 3. 圆的轴对称性。 4. 圆周角定理及推论 难点： 1. 垂径定理及推论的条件和结论的正确区分及灵活应用。 2. 用完全归纳法证明圆周角定理。 3. 几何综合题中隐含条件的挖掘及数学思想渗透。三. 教学过程：（一）本章纵览 本章主要是在小学知识的基础上，依据图形的变换，认识圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，进一步利用圆的对称性，探索圆的一些基本性质；运用动态的方法，通过图形的运动，研究点与圆、直线与圆、圆与圆之间的相互位置关系及其与距离的联系，了解有关圆的一些简单度量问题。 本章是初中数学中非常重要的一章。一方面，圆是最常见的图形，它被广泛地应用于生产和生活的各个领域；另一方面，圆本身的内容十分丰富，还常与三角形、四边形以及相似形结合起来，而且也极易与方程、函数等知识进行综合考查。 重点：圆的有关元素和性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。 难点：垂径定理、切线的判定定理及性质定理、切线长定理的探索及运用。（二）能力要求 1. 在学习中要多动手、多动脑、多观察、多实验，充分体验探索的过程； 2. 在认识几何图形的概念时，注意联系实际、体会数形结合的思想和方法； 3. 学习中要用自己的思维寻求探索的方向，然后与同学交流，总结反映图形特征的结论； 4. 体会“从特殊到一般”的数学思维方法，在学习中注意分析问题能力及归纳推理能力的提高以及应用意识的培养。（三）中考命题探究 在圆这一章中，我们主要学习了圆的有关性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及与圆有关的计算问题。本章运用的数学思想主要有：分类、转化、方程、构造、对称等。 本章中的热点知识有： 1. 寻找圆心； 2. 垂直于弦的直径； 3. 与圆有关的位置关系的判断； 4. 切线和切线长的性质； 5. 与圆有关的计算。 热点题型：圆是中考的重要内容，几乎辐射了整个试卷，如填空、选择、解答、阅读、探索、应用、压轴题等。由于圆紧贴生活、生产，所以以圆为背景的实际应用问题，一直受到命题者的青睐。【典型例题】 例1. 圆O的半径为13cm，弦AB/CD，AB10cm，CD24cm。 求AB与CD间的距离。 知识点1：在求圆内两平行弦间的距离时易考虑不周，分类讨论思想渗透。 正解：分两种情况： （1）圆心在两弦之间（如图1）这时可求得MN17cm图1 （2）圆心在两弦一侧（如图2），这时MNONOM1257cm 两平行弦AB与CD之间的距离为7cm或17cm。图2 例2. 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角度数是（ ） A. 或B. C. D. 或 解析：本题属“图形不明确型”题目，一条弦所对的圆周角有两种：弦所对优弧对的圆周角以及弦所对劣弧所对的圆周角。 如图3所示，连结OA、OB图3 弦长等于半径， 为等边三角形 答案：D 例3. 如图4，已知圆O的弦AB的长为半径OA的倍，C是的中点，AB、OC交于点P，求证：四边形OACB是菱形。图4 证明：要证明四边形OACB是菱形有两条思路，可以证四条边相等还可以证对角线互相垂直平分。 C是的中点， 又 即 四边形OACB为菱形 说明：此题证菱形，可以从不同角度去思考，只要道理能讲通即可。 例4. 如图5，AB是圆O的直径，弦于P，已知，求圆O的半径。图5 分析：连OC，利用直角三角形COP中，易求出半径OC的长。 解法一：连结OC 因为AB是圆O的直径，于P， 所以 又，所以 在中， 即_ 故圆O的半径为_cm。 解法二：因为AB是圆O的直径，于P， 所以（ ） 在中， _ 又为等边三角形 所以圆O的半径为_cm。 例5. 如图6，A、B、C三点都在圆O上，AE是的直径，AD是的高，圆O的半径，试说明的值是一个常数。图6 思路导引：题中已知和未知的四条相关线段AC、AB、AD、AE，其中AC、AD是的两条边AB、AE是的两条边，因此，连结BE，得到即有。 解：连结BE。 因为AE为圆O的直径，于D 所以 又 所以 所以 即的值是一个常数。 例6. 如图7，BC为圆O的直径，于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F。图7 （1）试说明 （2）当时，AE与BE有何关系？ （3）探索：当点P在什么位置时，说明理由。 精析与解答：欲说明，也就是要说明； 因为BC为直径，所以可考虑连结AB，构造； 若成立，必有 由于 所以，即 也就是说，当时，成立， 从而成立，即成立。 （1）为直径 即 （2）连结 当时， （3）当时， 例7. 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门命中率高，还是将球回传给乙，让乙射门命中率高呢？ 精析与解答：射门的命中率高低与射门点对球门两个边框M、N的张角大小有关系，张角越大，命中的机会就越大，于是可以考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，比较与的大小。 过点M、N、B作圆，显然，A点在圆的外部， 设MA交圆于点C，如图8，则图8 又 因此，以B点射门为好。即将球传给乙，让乙射门命中率高。 说明：同弧所对的圆内角大于圆周角，圆周角大于圆外角。 例8. 如图9，台风中心O位于城市A正东方向，相距64千米，台风以8米/秒的速度朝北偏西方向移动。气象台报告：在台风中心周围40千米方圆范围内将受其影响。试问城市A是否会受到台风影响？如果受影响，大约持续多少时间？如果不受影响，请说明理由。图9 解：过点A作于M，连AD 在中， 千米千米 受影响 在中， 根据勾股定理，千米 由垂径定理千米 受影响时间（秒）100分钟 例9. 学完本节知识后，周老师给同学们出了这样一道习题：已知，求作它的4等分点D、C、E。下面是小明和小华将已知四等分的作法：图10 你同意谁的作法，请说明理由。 解：小华正确。平分弧的原理是作弧所对弦的中垂线。【模拟试题】（答题时间：60分钟） 选择题（每小题4分，共20分） 1. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 圆既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 2. 如图1所示，是圆O的圆周角，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 图1 3. 如图2所示，AB是圆O的直径，则下列答案中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 图2 4. 圆O的直径，弦CD垂直AB于E，则OE等于（ ） A. 4B. 3C. 5D. 6 5. 如图3所示，AC是圆O的直径，AB，CD是圆O的两条弦，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 图3 填空题（每小题4分，共12分） 6. 如图4所示，在圆O中，则_，_。图4 7. 如图5所示，AB是圆O的直径，已知该圆的半径为5cm，弦BC长8cm，则_，_cm。图5 8. 如图6所示，AB是圆O的直径，AC，CD，BD，AE，EB都是圆O的弦，且，则图形中相等的角有_，_。图6 综合题（每小题12分，共24分） 9. 如图7所示，CD是圆O的直径，于点P，AD，BD，AC，BC分别为圆O的弦，OA，OB为圆O的半径。 （1）圆中哪些线段相等？ （2）哪些角相等？ （3）哪些弧相等？ （4）哪些图形的面积相等？图7 10. 如图8所示，圆O的弦AC，BD相交于点F。图8 （1）图中的相似三角形有哪几对？ （2）若，则图中与相似的三角形有哪几个？与相似的三角形有哪几个？拓展创新（提高综合创新能力） 开放与交流（共16分） 11. 如图9所示，在圆O中，AB是直径，CD是弦，。图9 （1）已知P是上一点（不与C，D重合），求证； （2）点在劣弧CD上（不与C，D重合）时，与有什么数量关系？请证明你的结论。 思考与探究（共12分） 12. 如图10所示，已知在圆O中，半径，C是OB延长线上一点，AC交圆O于点D，你能用两种以上的方法来说明的度数是的2倍吗？图10体验中考（把握中考脉搏） 回顾与预测（第1314小题各4分，第15小题8分，共16分） 13. （2004四川）如图11所示，已知AB是半圆O的直径，D是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 图11 14. （2004河南）如图12所示，已知A，B，C，D，E均在圆O上，且AC为圆O的直径，则_度。图12 15. （中考预测题）如图13所示，AB是圆O的一条弦，点C为的中点，CD是圆O的直径，过C点的直线交AB所在直线于点E，交圆O于点F。判定图中与的数量关系，并写出结论。图13参考答案 1. D2. C3. D4. B 5. D6. 7. 6 8. 9. （1） （2） ， ， ； （3）； （4） 10. （1） （2） 拓展创新 11. （1）证明：如图1所示，连结OD，图1 是直径， ， 又 （2）解：与的数量关系是 证明过程如下： 12. 证法1：连结OD，在中， 又 证法2：作于E，交圆O于F， 由圆的对称性可知，又 证法3：延长AO交圆O于E，连结DE， AE是圆O直径， 又， 又。（此方法用到圆周角的定理） 体验中考 13. B14. 9015. 提示：