数学：1.2 直角三角形 试题资料（北师大版九年级上）.doc

九年级上第一章
第二节直角三角形
试题资料库：
例1. （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵c＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵b＞0，

例2. 已知直角三角形的两边长，求第三边的长。
解：（1）若AB、BC均为直角边

（2）若BC为斜边

例3. （1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________；
（2）如图所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，则AC＝___________；又若CD⊥AB，则CD＝___________。

（3）等边△ABC的边长为a，则高AD＝___________，___________。
解：（1）
（2）
（3）
通过此题总结几个基本图形中的常用结论：
①等腰直角三角形三边比为
②含30°角的直角三角形三边之比为
③边长为a的等边三角形的高为，面积为

例4. 如图所示，，∠DAC＝90°，求BD的长。

解：作AE⊥BC于E
设BD为x，则

又
将上式代入，得：
即

解得：

例5. 如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。
求证：

分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。
Rt△ACD中，
Rt△BCD中，
（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：

例6. 设CD是△ABC的边AB上的高，且CD2＝AD·DB，求证：∠ACB＝90°。

思维入门指导：要得到∠ACB＝90°，除了知道∠ADC＝∠BDC＝90°之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD2＝AD·BD，提醒我们是否由AC2＋BC2＝AB2得到△ACB是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°。
解法一：∵CD⊥AB于D

∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
解法二：∵CD⊥AB于D

∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。
例7. 如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积。

思维入门指导：要求四边形ABCD的面积，得把四边形ABCD分割成三角形，连结AC，△ABC是Rt△，若△ACD也是Rt△，问题就解决了。
解：连结AC
∵∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形
依据勾股定理得：

∴AC＝5

∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积

一变：把∠B＝90°变成∠ACD＝90°，其它不变。
二变：把∠B＝90°变成AC＝5，其它不变。
点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。

例8. 已知：如图，ΔABC中，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AD⊥BC交BE于F。
求证：AE＝AF

证明：∵AD⊥BC ∴∠1＋∠5＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∵∠3＝∠5（对顶角相等） ∴∠1＋∠3＝90°
又∵∠BAC＝90° ∴∠2＋∠4＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4
∴AE＝AF（等角对等边）

例9. 已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC。求证：

分析：只需作出∠A的角平分线，转化为证角相等，注意到等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”，所以辅助线有多种添法。
证明：作AH⊥BC于H
∵AB＝AC ∴∠BAH＝∠CAH（等腰三角形三线合一）

在RtΔAHC和RtΔBDC中，分别有
∠CAH＋∠C＝90°
∠DBC＋∠C＝90°
∴∠CAH＝∠DBC（同角的余角相等）

例10.. 已知：如图，ΔABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB于E。
求证：

分析：在等腰三角形中可通过添加底边上的高线，产生直角三角形，利用“三线合一”得到直角三角形的30°，再利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可以证明。
证明：连结AD

在RtΔABD中
∵∠B＝30°
（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
同理可证

例11. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

分析：已知的36米是AC与AB的和，若设AB为x米，则AC为（36－x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。
解：设AB＝x米，则AC＝（36－x）米
∵AB⊥BC，∴
∴
∴x＝10，∴折断处的高度AB是10米。
例12. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．

解： 根据题意可得示意图：(如图)
在△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，
根据勾股定理可得：BC＝AB +AC ＝5000+4000 ＝3000(千米）
所以：飞机飞行了3000千米.
【点拨】注意勾股定理的应用条件是必须在直角三角形中，另外还要辨别要求的边是斜边，还是直边，进而选择利用勾股定理公式还是变形公式。
例13在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得
（x+1）2＝x2+52，x2+2x+1＝x2+25
解得x＝12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.

例14如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.

分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.
解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).
例15 在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。

解：如图，设，由题意知

中，，解之得

答：这棵树高15m。
【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。