数学：1.2 直角三角形 试题资料（北师大版九年级上）.doc

九年级上第一章第二节直角三角形试题资料库：例1. （1）在RtABC中，C90，a6，b8，求c。（2）在RtABC中，C90，a40，c41，求b。解：（1）在RtABC中，C90，又c0，（2）在RtABC中，C90，又b0，例2. 已知直角三角形的两边长，求第三边的长。解：（1）若AB、BC均为直角边（2）若BC为斜边例3. （1）在等腰RtABC中，C90，AC：BC：AB_；（2）如图所示，ACB90，A30，则BC：AC：AB_；若AB8，则AC_；又若CDAB，则CD_。（3）等边ABC的边长为a，则高AD_，_。解：（1）（2）（3）通过此题总结几个基本图形中的常用结论：等腰直角三角形三边比为含30角的直角三角形三边之比为边长为a的等边三角形的高为，面积为 例4. 如图所示，DAC90，求BD的长。解：作AEBC于E设BD为x，则又将上式代入，得：即解得： 例5. 如图所示，ABC中，CDAB于D，ACBC。求证：分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。RtACD中，RtBCD中，（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理： 例6. 设CD是ABC的边AB上的高，且CD2ADDB，求证：ACB90。 思维入门指导：要得到ACB90，除了知道ADCBDC90之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD2ADBD，提醒我们是否由AC2BC2AB2得到ACB是直角三角形，从而得到ACB90。 解法一：CDAB于D ACB是直角三角形，ACB90 解法二：CDAB于D ACB是直角三角形，ACB90点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。例7. 如图所示，在四边形ABCD中，B90，AB4，BC3，CD12，AD13，求四边形ABCD的面积。 思维入门指导：要求四边形ABCD的面积，得把四边形ABCD分割成三角形，连结AC，ABC是Rt，若ACD也是Rt，问题就解决了。 解：连结AC B90，ABC是直角三角形 依据勾股定理得： AC5 ACD是直角三角形，ACD90 四边形ABCD的面积ABC的面积ACD的面积 一变：把B90变成ACD90，其它不变。 二变：把B90变成AC5，其它不变。 点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。 例8. 已知：如图，ABC中，BAC90，12，ADBC交BE于F。求证：AEAF证明：ADBC1590（直角三角形两锐角互余）又35（对顶角相等）1390又BAC902490（直角三角形两锐角互余）又1234AEAF（等角对等边） 例9. 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC。求证：分析：只需作出A的角平分线，转化为证角相等，注意到等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”，所以辅助线有多种添法。证明：作AHBC于HABACBAHCAH（等腰三角形三线合一）在RtAHC和RtBDC中，分别有CAHC90DBCC90CAHDBC（同角的余角相等） 例10. 已知：如图，ABC中，A120，ABAC，BDDC，DEAB于E。求证：分析：在等腰三角形中可通过添加底边上的高线，产生直角三角形，利用“三线合一”得到直角三角形的30，再利用直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可以证明。证明：连结AD在RtABD中B30（直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半）同理可证例11. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。分析：已知的36米是AC与AB的和，若设AB为x米，则AC为（36x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。解：设ABx米，则AC（36x）米 ABBC， x10，折断处的高度AB是10米。例12. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中ABC中的C90，AC4000米，AB5000米，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长解： 根据题意可得示意图：(如图)在ABC中的C90，AC4000米，AB5000米，根据勾股定理可得：BCAB +AC 5000+4000 3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米.【点拨】注意勾股定理的应用条件是必须在直角三角形中，另外还要辨别要求的边是斜边，还是直边，进而选择利用勾股定理公式还是变形公式。例13在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+1）2x2+52，x2+2x+1x2+25解得x12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.例14如图，在长方形ABCD中，DC5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么折叠的AED的面积为_.分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得BF12，则在RtABF中，AB5，BF12根据勾股定理可知AF13，再由折叠的性质可知ADAF13，所以FC1，可设DEEFx，则EC5x，则在RtEFC中，可得方程：12(5x)2x2.解这个方程，得x.所以SAED1316.9(cm2).例15 在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。解：如图，设，由题意知中，解之得答：这棵树高15m。【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。