1、课题：1.4.1角平分线的性质（一）
教学目标
1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理
2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
A
O
B
C
重点：领会角的平分线的两个互逆定理
难点：两个互逆定理的实际应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC 和∠COB重合。
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。
如上图，射线OC是
2、∠AOB的平分，∠AOC = ∠COB =∠AOB，
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
A
O
B
C
M
N
（2）分别以MN为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
（3）作射线OC．射线OC即为所求．
你能证明吗？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、角平分线性质：
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
（1） 猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，
即：PD
3、PE.
（2）引导学生证明猜想。
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
可证明：∆PDO≌∆PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB，∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）
（1）写出逆命题：
4、交换定理的题设和结论得到的命题为：
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
（2）证明逆命题的正确性：
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
_
2
_
1
_
O
_
B
_
A
_
P
_
C
_
E
_
D
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
（3）结论：角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。
用
5、符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠1= ∠2 .（OC是∠AOB的平分线）
综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
A
C
B
D
2
1
三、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 .
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上 .
（2）求证：BD是∠ABC的平分线 .
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，∵ BA=BC
6、 BD=BD
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD
∴ BD是∠ABC的平分线
A
B
C
D
E
1
2
3
4
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？
答： (1) DE=DC
∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
(2) BE=BC
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?
角平分线的性
7、质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径
四、巩固练习（出示ppt课件）
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
A
B
C
D
A
B
C
D
E
4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .求证:（1） ∠ABC= ∠ABD （2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
第3题 第4题
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p24 练习 p26 A 1、2
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