八年级数学变量与函数一教学案教案全国通用.DOC

《变量与函数》教学案
单位： 瓦甸初中 年级： 八 设计者： 王晓东 时间： 200906

课 题
变量与函数
课 型
新授
案 序
第1课时
教学目标
知识技能
运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数的意义，了解常量与变量的含义。
数学思考
学会用含一个变量的代数式表示另一个变量
解决问题
能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。
情感态度
感受生活中的数学
教学重点
认识变量、常量；用式子表示变量间关系
教学难点
用含有一个变量的式子表示另一个变量
课前准备（教具、活动准备等）
小黑板
教 学 过 程
教学步骤
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图
Ⅰ．提出问题，创设情境

Ⅱ．导入新课

[活动一]

[活动二]

Ⅲ．随堂练习

Ⅳ．课时小结

Ⅴ．课后作业
情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米

２．在以上这个过程中，变化的量是________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．

这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．

１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?
２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？

通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．
１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？
２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？

从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．

１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．

本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．

课后相关习题

学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．
从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t．其中里程s与时间t是变化的量，速度60千米／小时是不变的量．

结论：
１．早场电影票房收入：150×10=1500（元）
日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）
关系式：y=10x
２．挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）
关系式：L=0．5m+10

结论：
１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=r2 r=
面积为10cm2的圆半径r=≈1．78（cm）
面积为20cm2的圆半径r=≈2．52（cm）
关系式：r＝
２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．
若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）
据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）
若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）
面积 Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）
… …
若长为xcm，则宽为5-x（cm）
面积 S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）

１．确定事物变化中的变量与常量．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．
３．利用学过的有关知识公式确定关系式

挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。

引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．

通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。

巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系
通过总结与归纳，完善学生已有的知识结构。

附板书设计： 课题
引入问题答案 变量与常量的定义 活动二
活动一 课时小结 练习

教学反思：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的—大飞跃．因此，设计本课时根据学生的认知基础创设丰富的现实情境，使学生从中感知变量与函数的存在和意义。遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题。帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力．让学生领悟到现实生活中存在多姿多彩的数学问题．并能从中提出问题、分析问题和解决问题．提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人．

课堂实录

课 题：变量与函数（1）
出示：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米

２．在以上这个过程中，变化的量是________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．
师：同学们讨论下上面的几个问题。（讨论后）
生1：从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米。
生2：里程s与时间t是变化的量，速度60千米／小时是不变的量
生3：行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t。
师：这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．
出示活动1：１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?
２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
通过合理、正确的思维方法探索后
生：早场电影票房收入：150×10=1500（元）
日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）
生：关系式：y=10x
师：这个问题中，什么是变化的量？什么是不变的量？
生：一场电影售票张数和一场电影的票房收入是变化的量；票价10元是不变的量；
生：挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）
关系式：L=0．5m+10
师：这个问题中，什么是变化的量？什么是不变的量？
生：弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm是不变的量，重物的质量m，受力后的弹簧长度L是变化的量。
师：通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．（板书）
出示活动2
１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？
２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？
师：圆的面积公式是什么？
生：S=r2
师：如何用S表示r
生：r=
生：面积为10cm2的圆半径r=≈1．78（cm）
面积为20cm2的圆半径r=≈2．52（cm）
关系式：r＝
师：这个问题中，什么是变量？什么是常量？
生：这个问题中，半径和面积是变量，圆周率是常量。
生：因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．
若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）
据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）
若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）
面积 Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）
… …
若长为xcm，则宽为5-x（cm）
面积 S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）
师：由上述两例大家可以看出怎样确定关系式？
生：在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．
练习：
１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．
师：从本节课同学们学到了什么：
生：找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤
生：什么是变量？什么是常量？
生：利用学过的有关知识公式确定关系式．
布置作业。