江苏省丹阳市八中九年级数学《一元二次方程及其解法（直开法）》教案 人教新课标版.doc

江苏省丹阳市八中九年级数学《一元二次方程及其解法（直开法）》教案 人教新课标版
一、教学目标:1、知识目标：经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2、能力目标：了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；会用直接开平方法法解一元二次方程。
3、情感目标：体会转化的思想方法。
二、教学重点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会用直接开平方法法解一元二次方程。
三、教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程。
四、教学类型：新授。
五、教学过程：
一、 做一做：
1．问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0.　　（1）
2．问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x）2=7.2,
整理可得 5x2＋10x－2.2=0.　　　（2）
3．思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）
共同特点：（1） 都是整式方程
（2） 只含有一个未知数
（3） 未知数的最高次数是2
二、 一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次，叫做一次项系数，叫做常数项。.
三、 例题讲解与练习巩固
1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1） （2）
（3） （4）
2．例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）
说明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3．例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由教师归纳。
4．例4：已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程
5．练习：
1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2x(x-1)=3(x-5)-4

2、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
四、思考：如何解方程呢？
分析：由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
说明：形如方程可变形为 的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用表示。
五、例题讲解：
例5、解下列方程 ：
（1） （2）
分析：用直接开平方法求解
变式1：解方程
例6：解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
说明：（1）中只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
思考：形如的方程的解法。
练习：练习一 解下列方程：
（1）x2＝169；　　　（2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）4x2+16＝0
练习二 解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0 （2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0
拓展：
(1) (2)
练习：（1） （2）

本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
4、对于形如（a≠0,a≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n≥0）的形式用直接开平方法解。
5、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
第1课时 一元二次方程及其解法（直接开平方法）学案
一、 做一做：
1．问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
3．思考、讨论：
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：（1）__________________________;
（2）__________________________;
（3）__________________________。
二、 一元二次方程的概念：
上述两个整式方程中都只含有____________，并且未知数的____________，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.
三、 例题讲解与练习巩固
1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1） （2） （3） （4）
2．例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）
3．例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4．例4已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

5．练习：
1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4

2、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

四、思考：如何解方程呢？

五、例题讲解：
例5、解下列方程 ：
（1） （2）

变式1：解方程

例6：解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.

思考：形如的方程的解法。

练习：练习一 解下列方程：
（1）x2＝169；　 　　（2）45－x2＝0；

（3）12y2－25＝0； （4）4x2+16＝0

练习二 解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0 （2）(x－1)2－18＝0；

（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0

拓展：
(1) (2)

练习：（1） （2）