山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.3.1 圆周角和圆心角的关系教案 北师大版.doc

3.3.1圆周角和圆心角的关系教案

教学目标
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算．
2．经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力．通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力．
3．在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感受探索的艰辛与喜悦，体验数学活动充满着探索与创造激发学生的学习欲望．
教学重点与难点
重点：理解圆周角的概念，掌握圆周角与圆心角之间的关系定理．
难点：圆周角和圆心角关系定理的证明．
教法与学法指导：引导发现法．在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新知．
本节课对教材内容进行了重新加工，以学生熟悉的圆心角引入圆周角，学习新概念，并比较它们的异同．在探究圆周角和圆心角关系定理时，以“问题串”形式，教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法．同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的，真正体现“使不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念．
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、创设情境，引入新课
师：在以前的学习中我们接触过圆心角，通过下面的问题回顾一下：
问题1：下图哪个角是圆心角？圆心角有什么主要特征？
（学生回顾概念，根据概念分辨图形，进一步理解圆心角的主要特征）
生：顶点在圆心的角是圆周角；图（6）中的角是圆心角．
问题2：图（2）的角有什么主要特征？他与圆心角有什么联系和区别？
（学生观察、比较、发现，并尝试归纳总结．）
生1：角的顶点在圆周上．
生2：角的边是圆的弦．
生3：角在圆的内部．
生4：因为角的两边是射线，所以我认为应该是角的两边都与圆相交．
生5：因为角的顶点已经在圆上了，也就是说角的两边一定与圆相交了，所以我认为应该是角的两边分别和圆有另一个交点．如果只说角的两边都与圆相交，那么图5、8也是符合的，这样就不能准确描述图2中的角的特征．
师：同学观察得很仔细，分析的也很准确．大家继续思考下一个问题：
问题3：按照“顶点在圆上，两边分别和圆有另一个交点”的条件画图，能画出多少个这样的角？
学生画图、发现，并与同桌交流，得到结论
生：无数多个．
师：这无数多个具有这些特征的角，就是圆周角．圆周角和我们前面所学的圆心角之间有什么关系呢？就让我们一起走进今天的课堂．
（引入新课，板书课题）
设计意图：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系．
活动效果：在分析图2中的角的特征时，学生之间不断的补充，准确的，描述出圆周角的基本特征，为顺利展开本节课的教学奠定了基础，也充分调动了学生参与课堂教学的热情．
二、师生合作，探究新知
（一） 圆周角定义：
板书：顶点在圆上，两边分别和圆有另一个交点的角叫做圆周角．
师：注意圆周角的两个特征：
1)顶点在圆上；
2）两边分别和圆有另一个交点．
两者缺一不可．
圆周角与圆心角的异同点．
生：都在圆的内部，都对应着一段弧；不同之处在于顶点位置不同．
师：图中还有圆周角吗？
（学生观察、分析．中下游生口答）
生：图（4）（7）也是圆周角．
师：其他图为什么不是圆周角．
生：图（1）（3）的顶点不在圆上，图（5）角的两边和圆没有另一个交点，图（8）角的两边只有一条边和圆有另一个交点．
设计意图：通过此过程，让学生再次强化理解有关概念．
活动效果：有了前面的情境创设学生能够很快的解决两个问题．
（二） 探究圆周角和圆心角之间的关系：
问题4：
师：仔细观察大家刚才所画的圆周角，和其他同学对照一下，看一看圆周角和圆心有几种位置关系？
学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充．
师投影展示学生所发现的几中位置关系，并让其他小组补充．
生：（投影仪展示）
圆周角与圆心的位置关系只有三种，
⑴ 圆心在圆周角的一边上,
⑵ 圆心在圆周角的内部,
A
B
C
D
⑶ 圆心在圆周角的外部．
问题5：
师：在同一个圆中，任意的圆周角和圆心角有什么大小关系？
师引导生画图发现．
学生画图、观察、测量、发现：它们之间不一定存在某种特殊的关系．
学生画图举例
A
B
C
O
设计意图：通过问题4、5的思考引导学生主动去思考圆周角与圆心角存在怎样的关系，并且明白需要通过分类讨论去研究，为下面的讨论做好心理铺垫．
问题6：
师：如图，在⊙O中，∠B、∠AOC都对着，那么这组圆周角和圆心角存在着怎样的关系呢？
学生小组内交流，归纳总结，最后在全班交流．
生：∠B=∠AOC
师：如何用自己的语言描述这个发现呢？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
（师板书）
师：如果要证明这个命题，该怎么做呢？
（学生思考、交流）
生：在老师给出的图形中，圆心在角的内部，刚才的学习中我们已经知道圆心和圆周角有三种不同的位置关系，对于这三种位置关系我们可以分别去证明，所以要分类来讨论．
师：说得很好，这就需要我们去一一证明．通常我们研究问题的方法是从简单到复杂或特殊到一般的关系入手，那么，哪一种比较特殊呢？
生：第一种．
师：你是如何证明的呢？想一想，试一试．
（学生独立思考分析）
已知：如图，⊙O中所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．
求证：∠ABC＝∠AOC．
证明：∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠AOC＝2∠ABO．
即∠ABC＝∠AOC．
师：我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的．对于第二、三种情况，该如何证明呢？能利用第一种情况的结论吗？试一试，并交流自己的做法．

（1） （2）
学生独立分析后，然后在小组内交流，最后在全班交流．
生甲：如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．
由刚才的结论可知：
∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD
∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)
即∠ABC＝∠AOC．
生乙：在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．
由前面的结果，有
∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．
∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)
即∠ABC＝∠AOC．
师：经过刚才我们一起探讨，从三种位置关系证明了一个命题的正确性，因此，命题：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．可以作为定理来使用．
（师把前面板书中的“命题”改为“定理”）．
师：这个定理的使用要结合图形来完成，就像对顶角相等一样．
∵∠ABC＝∠AOC．
结合图形说出两个量之间的关系时，注意“一条弧”这个条件，即圆心角和圆周角是同一条弧所对的．
师：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？
生：由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……
师：好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．
设计意图：利用命题的特殊情况来证明一般情况是定理证明的常用方法，在探究第二、三种情况时，学生已经积累了一定的活动经验，教师要给学生留有充分的时间让学生先独立完成，从而培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力．同时，在整个探究过程中，教师要有有意识地向学生渗透转化、分类、归纳等数学思想方法．
活动效果：学生对第二种情况易证，但对于第三种情况，证明有一定的难度，师要结合学生的实际情况引导学生完成第三种情况的证明过程．让学生交流后由优生板演第二、三种情况的证明过程并讲解自己的证明思路．
三、随堂练习，巩固提高
1．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠BOC=130°，则∠A的度数为 ．
2．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABC=45°∠ACB=75°，则∠BOC的度数为 ．
3．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ADB、∠ACB的度数？

4、拓展练习：
A
B
C
O

1）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
如果：∠AOB=2∠BOC
求证：∠ACB=2∠BAC
2）如果∠AOC=100°，则∠ABC=（ ）．
3）如果点A、B、C在⊙O中，∠CAB=25°，∠ACB=30°,求弦AC所对圆周角的度数．
设计意图: 通过题组训练，巩固圆周角与圆心角之间的关系，通过图形进一步加深对同一条弧的理解． 在练习设计中，充分体现学生的分层．分层次练习很好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念．通过练习使学生进一步认识圆周角和圆心角之间的关系，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果．
活动效果: 第1、2、3题学生完成较好．题目4学生识图能力不强，直接体现在第一小问，第三小问有两种情况部分学生考虑不周全．
四、课堂小结，反思提升
师：到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？
生：和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
师：这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？
生：我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明．
师：好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用．
注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．
(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．
设计意图: 组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．
五、达标检测，反馈矫正
1、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°，∠BOC的度数__________．
2、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是( )
　　A 30° 　B 150° 　C 30°或150° 　D 60°
3、如图A、B、C三点都在⊙O上，∠OBC=120°，则∠A的度数为
　　A 70°　 B 65°　 C 60° D 50°
设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课后促学
必做题：课本111页习题3.4的第1，2题.
选作题：课本112页习题3.4的第3题.
板书设计
§3．3 圆周角和圆心角的关系（一）
一、探究圆周角的定义及其特征

二、探究圆周角和圆心角的关系

学生板演区

教学反思：

本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角的概念和性质基础上，对圆周角定理进行探索．圆周角定理及推论在圆的有关说理、作图和计算中有着广泛的应用，也是学习圆的后续知识的重要预备知识，在教材中起着承上启下的作用．同时，圆周角定理及推论也是说明线段相等、角相等的重要依据之一．
在本节课的教学中，学生对圆周角的概念较容易掌握，理解起来问题不大．而对圆周角与圆心角的关系的证明相对困难，特别是圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部这两种情况，因此在教学过程中我着重引导学生对这部分知识的探索与理解．还有些学生在运用知识解决问题的过程中忽略同弧的问题，在教学时我借用多媒体加以突出．
课堂中以学生探究为主，配合多媒体辅助教学，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想．在教学中，我还注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用．运用适度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”．引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的方式进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力．与此同时，我通过适时的点拨、精讲，使观察、猜想、转化、归纳、实践、推理、验证、分类讨论贯穿在整个教学观察之中．
本节课的不足之处是：1、由于内容较多，节奏有点快，有部分学生掌握的不够好，还需时间巩固练习．2、教学流程设计的不太理想，如导课环节、互动探究环节．