山东省胶南市隐珠中学七年级数学 《完全平方公式一》教案.doc

山东省胶南市隐珠中学七年级数学《完全平方公式一》教案
课 题
§1.8.1 完全平方公式(一)
●教学目标
(一)基础性目标
1、认知性
了解完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式。
2、体验性：经历探索完全平方公式的过程，体会数、形结合的优势。
3、技能性：能运用完全平方公式进行简单计算。
(二)发展性目标
1、技能性：重视学生对算理的理解，有意识地培养学生有条理的思考和表达能力。
2、体验性：经历探索完全平方公式的过程，使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力。鼓励学生自己探索算法的多样化，体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验，树立自信心，学会在与同学的交流中获益。从数学中找到学习的乐趣,激发学习数学的内驱力。
●教学重点
1、完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2、完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法 自主探究法
●教具准备 多媒体课件
●教学过程
一、创设问题情景，引入新课
［师］农科所今年为了试验新品种，将边长为a米的正方形试验田的边长又增加了 b 米,形成四块实验田，分别种植了三种作物。请问，农科所今年的实验田面积总共是多少？

［师］你能表示今年试验田的面积吗?
［生1］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［师］谁还能用不同的方式表示今年试验田的面积?
［生2］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］再有没有其他的方法?
［生3］正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．
［生4］a2+(a+b)b+ab
［生5］a2+2(a+b)b-b2
［师］同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，比较它们的结果有何关系？为什么?
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——1.8完全平方公式（一）
二、探究新知:
1、完全平方公式（1）的推导
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，我们不妨把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释，能不能从代表运算的角度来推导这个公式呢？(一生板演,其他同学思考:他推导的的依据是什么?并检查该生推导过程是否正确)
［生］用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
2、探讨公式（1）的特征。
观察这个公式，小组讨论，明确公式特征，加深对公式表象的理解。各小组派一名代表阐述结论。从三个方面讨论:左\右\结合两边
机动对策：
［师］看看它的特征：(a+b)2=a2+2ab+b2中左边有几项?两项的符号有何特点?表示什么?
右边有几项？首尾两项与a、b有什么关系？中间一项呢？各项系数符号是什么?
（1）分析：左面是：两数和的平方，
［师］右面是：积为二次三项式。即首尾两项是它们的平方和，另一项是两数积的2倍，且与乘式中间符号相同。加上它们的积的2倍。
（2）［师］如何用语言叙述上述等式。
两数和的平方等于这两数的平方和再加上它们的积的2倍．
例1：利用完全平方公式计算
（1）(a+3)2
（2）(a+2y)2
（3）(4x+5y)2
（4）（a-b）2
3、完全平方公式（2）的推导：
你能通过几何图形验证你的猜想吗？
让学生自己解决，然后交流。
机动：［师］如果把上式中的+b变成-b，那么公式会变成什么样子？猜想：（a-b）2=a2-2ab+b2
你能否验证呢？
［师］类比第一个等式我们从几何图形的角度通过面积相等得到了它，又从代数运算的角度去验证了它的正确性。
［师］那么，你能从代数运算的角度来推导吗？
可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
也可利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2
你能利用面积知识，仿照课本以及演示的动画，用白纸折出
的示意图吗？

(2)
［师］你能类比公式（1）用语言描述（2）吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
［师］结论：文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
4、公式中a、b可表示数，字母、单项式、多项式等代数式。
［师］看谁能在最短的时间里编出一句话让大家记住这个公式。
5口诀：首平方，尾平方，首尾之积2倍加减放中央。

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么好处？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，帮助我们理解式子的意义，
代数推导完全平方公式使我们体会到落笔有据。
例2利用完全平方公式计算：
（1）(2x－3)2（2）(mn－a)2
（3）(－x+2y)2 (4) (－x－y)2
对于(4)的处理:找两生板演 [ (－x)+(－y)>] [(－x)－y]两种情况,师帮助学生解决(x+y )
［师］你认为做此练习时应关注哪几步？
利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
四．应用新知
随堂练习
课本P411.计算：
(1)(x－2y)2 (2)(2xy+x)2;
解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2
(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2
检测：必做题
闯关练习(一)：下列各式的计算，错在哪里，应怎样改正？
(1) (x + y)2 =x2 + y2
(2) (m –n)2 =m2 – mn+ n2
(3) (x– 1)2 = x2 – 2x-1
闯关练习（二）：利用完全平方公式计算
1、(5+3p)2
2、（0.5x-2y)2
2、(4a2-b2)2
选做题：
已知(a+b)2=11,ab=2,求 ①a2+b2的值 ②(a-b)2

问题：本节课，你学到了什么？
本节课我们又学习了乘法的两个公式
① (a+b)2=a2+2ab+b2
② (a－b)2=a2－2ab+b2
我们在运用公式时，要注意以下几点：
1、将公式转化成数学模型，套用模型计算时，注意选择适合的模型；
2、公式中的字母a、b可以是任意代数式；
3、公式的结果有三项，不要漏项和写错符号。
作业：学到这里今天的课已接近尾声了，通过今天的学习你有没有产生新的疑问呢？若换了我，我会想(a+b+c)2=？ (a+b)3 等于？(a+b)4……(a+b)n呢？是否也有规律可循？带着这样的疑问我们课后去分小组探究。答案我们的数学老师会告诉你的。课件展示：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。
1、读一读： P 41《杨辉三角》
2、做一做：课 本: P 43