1、湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《用函数观点看一元二次方程》教案 新人教版
二. 重点、难点：
1. 重点：
二次函数（）与一元二次方程（）之间的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。
2. 难点：
一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
三. 具体内容：
1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一根。
2. 二次函数（）图像与x轴的关系有3种：
（1）没有公共点：此时一元二次方程没有实根，即；
（2）有一个公共点：此时一元二次方程有两个相等的实根，即；
（3
2、有二个公共点：此时一元二次方程有两个不相等的实根，即
3. 利用二次函数的图像求一元二次方程的根一般是近似的。
【典型例题】
[例1] 已知函数，利用函数图像求出的根。（精确到0.1）
解：做出的图像，如图，它与x轴的公共点的横坐标大约为，
∴ 方程的实数根为
[例2] 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分（如图所示）。如果这个男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，）
解：（1）设所求函数的解析式为
3、
∵ A在抛物线上 ∴ ∴
∴
（2）抛物线与x轴正半轴的交点C即为铅球落地点
此时y=0且x>0，即
解得（米） （不合题意，舍去）
∴ 该同学把铅球推出去约13.75米。
[例3] 已知抛物线（m为常数）
（1）求证：此抛物线与x轴一定有交点；
（2）是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点的距离等于？
若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
解：（1）
∵ ∴ ∴ 抛物线与x轴一定有交点。
（2）假设存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点距离为
设抛物线与x轴两交点的横坐标为
解方程：得
∴ （∵ ）
∴
4、 ∴ 解得
经检验都适合方程（*）但 ∴
∴ 存在正数，使抛物线与x轴两个交点的距离等于
[例4] 已知，做出函数的草图，观察图像，当x为何值时，，当为何值时y=0，当x为何值时y<0。
解：
∴ 图像开口向上，对称轴是直线，顶点为
令得与y轴点为（0，1）
解方程得，
∴ 图像与x轴交点为与
∴ 草图如图
由图可知：当或时，
当或时，
当时，
[例5] 已知实数，抛物线与在x轴上有相同的交点A。（1）求点A的坐标，（2）求p+q的值；（3）设m，n为正整数，并且关于x的一元二次方程有实数根p，q，求m，n的值。
解：（1）设点A的坐标
5、为（），由题意得
由（1）－（2）得 ∴
∵ ∴ ∴ ∴ 点A（）
（2）
（3）∵ p，q是方程的根，且
∴
把代入 ∴
由（1）得 ∴
∵ 为正整数 ∴ ∴ m值为8，n的值为1，2，3
[例6] 已知抛物线截直线所得的线段长为3，并且此抛物线顶点在抛物线上，求抛物线的解析式。
解：抛物线的对称轴为直线，它截直线所得的线段长为3，则把它向下平移5个单位所得的抛物线截x轴的线段长也为3，所以与x轴两个交点分别为，
故可设抛物线的解析式为：
化顶点式为：
∵ 原抛物线顶点在抛物线上
∴ 的顶点在抛
6、物线上
∴
∴ ∴ 的解析式为
∴ 或
由此得原抛物线解析式为或
【模拟试题】
一. 填空题
1. 若二次函数的图像与x轴没有公共点，且c为整数，则c的最小值为 。
2. 已知二次函数的部分图像（如图所示），顶点为，由图像可知关于x的一元二次方程的两个根为和 。
3. 若关于x的方程没有实数根，当时，抛物线的顶点位置在x轴的 ；当时，抛物线的顶点位置在x轴的 。
4. 已知m、n是方程的两个实数根，抛物线的图像过和两点，则b= ，c 。
5. 如图所示，A
7、B、C是二次函数的图像上的三个点，则
0，c 0， 0（填“>”、“<”或“=”）。
6. 如图所示，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且OB=OC，则这个二次函数的解析式为 ，点A的坐标为 。
二. 解答题
7. 已知函数
（1）画出函数图像；
（2）利用图像回答方程的解是多少？x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
8. 已知抛物线。
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个公共点；
（2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值。
【试题答案】
一.
1. 5 2. 3. 上方； 下方 4. 6；
5. <；>；> 6. ；
二.
7. （1）略 （2）；或；
8. （1）
（2）与y轴交点为
由题意知
∴
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
