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第二十二讲 园幂定理
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．
相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：
1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；
2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．
熟悉以下基本图形、基本结论：

【例题求解】
【例1】 如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．

思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．

注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：
(1)平行线分线段对应成比例；
(2)相似三角形对应边成比例；
(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；
(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．

【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，过AB、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为( )
A．3 B．4 C． D．

思路点拨 连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．

【例3】 如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．

思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．

【例4】 如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE

思路点拨 由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．

注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．
需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．
【例5】 如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．

思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．

注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：
(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．
(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．
(3)将以上分析组合，寻找联系．

学力训练
1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为 ．

2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )
A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8

5．如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为( )
A． B． C． D．

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6．如图，⊙O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．
(1)若∠B=30°，问AB与AP是否相等?请说明理由；
(2)求证：PD·PO=PC·PB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．
8．如图，已知PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连CE并延长交⊙O于点F，连AF．
(1)求证：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半径的长．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是关于x的方程 (其中为实数)的两根．
(1)求证：BE=BD；(2)若GE·EF=，求∠A的度数．

10．如图，△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．

11．如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD= ．

12．如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(>2)，则PH=( )
A． B． C． D．
13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长为( )
A． B． C． D．1
14．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC．

15．已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F三点，连结OF．
(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；
(3)求BH:HC
16．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．

17．如图，⊙O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根，P是⊙O外一点，过点P作⊙O 的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与⊙O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．

参考答案