数学：2.8二次函数的应用同步练习（鲁教版九年级上）.doc

2.8二次函数的应用
1.如图，在直角梯形中，．
（1）求两点的坐标；
D
C
B
P
O
y
x

（2）若线段上存在点，使，求过三点的抛物线的表达式．

2.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动.平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积.
（1） S与相等吗？请说明理由.
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
图1
（3）如图2，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形.
图2

3.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应分别为（ ）
A． B．
C． D．答案：D
4. 如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

图1
图2

5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出关于的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
6.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，点坐标为，点坐标为，以的中点为圆心，为直径作与轴的正半轴交于点．
（1）求经过三点的抛物线对应的函数表达式．
（2）设为（1）中抛物线的顶点，求直线对应的函数表达式．
P
O
M
C
B
A
x
y

（3）试说明直线与的位置关系，并证明你的结论．

7.如图，是射线上的一动点，以为圆心的圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点．
（1）若的半径为，则点坐标是（　　）；点坐标是（　　）；以为顶点，且经过点的抛物线的解析式是　　　　；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点关于原点的对称点，请说明理由；
O
A
C
P
B
x
y

（3）试问：是否存在这样的直线，当在运动过程中，经过三点的抛物线的顶点都在直线上？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

8. 如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以为对角线的平行四边形．求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当的面积为24时，请判断是否为菱形？
②是否存在点，使为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
O
E
F

9.飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之间的函数关系式是．飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
答案：
10.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片，已知，，，点是边上的动点（与点不重合）．现将沿翻折，得到；再在边上选取适当的点，将沿翻折，得到，并使直线，重合．
（1）设，，求关于轴的函数关系式，并求的最大值；
（2）如图2，若翻折后点落在边上，求过点的抛物线的函数关系式；
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｐ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｏ

图１
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｐ
Ｅ
Ｏ

图2
Ｆ
Ｄ
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标．

11.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为m，即m．（不考虑墙的厚度）
（1）若想水池的总容积为，应等于多少？
（2）求水池的总容积与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（3）若想使水池的总容积最大，应为多少？最大容积是多少？

12.如图1，在平面直角坐标系中，，且，，抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点，使四边形是正方形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；y
x
B
C
A
D
O
图1

（3）如图2，为延长线上一动点，过三点作，连接，在上另有一点，且，交于点，连结．下列结论：①的值不变；②．其中有且只有一个成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．
A
x
y
O
B
F

C
E
G
图2

13.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长 BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC

A

B
O
C
D
E

的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线
的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m .
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 一辆货运卡车高m，宽m，它能通过该隧
道吗？
(3) 如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
14.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆交轴正半轴于点，是的切线．动点从点开始沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点从点和点同时出发．设运动时间为（秒）．
（1）当时，得到，两点，求经过，，三点的抛物线解析式及对称轴；
（2）当为何值时，直线与相切？并与出此时点和点的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小．求出点的坐标并说明理由．
A
P
B
x
y
P1
C
Q
Q1
O
l

15.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

16.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．0元 D．3600元
17.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A．14元 B． 15元
C．16元 D． 18元
18.小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
答案：
1.解：（1）过点作于点，则四边形为矩形．
，．
．
．
两点的坐标分别为．
（2），
．
D
C
B
P
O
y
x

1
2

又，
．
．．
即．
．
，或．
点的坐标为，或．
①当点的坐标为时，
设经过三点的抛物线表达式为，
则
所求抛物线的表达式为：．
②当点为时，
设经过三点的抛物线表达式为，
则
所求抛物线的表达式为：．
2.（1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以，即
配方得：，所以当时，
S有最大值3
（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形.
3.D
4.解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．
抛物线过原点，
．
．
抛物线的解析式为，

图1

即．
（2）如图1，当四边形是平行四边形时，
．
由，
得，，
，．
点的横坐标为．
将代入，
得，
；
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，

图2

当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．
（3）如图2，由抛物线的对称性可知：
，．
若与相似，

必须有．
设交抛物线的对称轴于点，
显然，
直线的解析式为．
由，得，．
．
过作轴，
在中，，，
．
．．
与不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．

5.解：（1）由题意，得，
整理，得．
（2）由题意，得，
整理，得，
解得， （不合题意，舍去）．
即当一天的总利润为1080时，生产的第5档次的产品．
6.解1）连结．
是的中点，且是的圆心，
，．
．
设经过三点的抛物线为，
． ．
抛物线为．
即．
P
O
M
C
B
N
A
x
y
（2）将配方，得，
顶点．
设直线为，则有
　　解得　直线为．
（3）直线与相切．
证明：设与轴交于点，在中，令，得．
，
．
．
与相切．
7.解：（1）；；
（2）点关于原点的对称点的坐标为．
抛物线与轴的交点为，
y
x
P
C
Q
O
A
B
点不在抛物线上．
（3）设，，则．
过点作，垂足为，则，
，，．
，，．
设经过三点的抛物线的解析式为
，
将代入解析式，得．

．
抛物线的顶点坐标为．
存在直线：，当在射线上运动时，过三点的抛物线的顶点都在直线上． 2分
8.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把两点坐标代入上式，得
解之，得．
故抛物线解析式为，顶点为．
（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，
，即，表示点到的距离．
是的对角线，

．
因为抛物线与轴的两个交点是和，
所以，自变量的取值范围是．
①根据题意，当时，即．
化简，得．解之，得．
故所求的点有两个，分别为，．
点满足，是菱形；点不满足，
所以不是菱形．
②当，且时，是正方形，此时点的坐标只能是．
而坐标为的点不在抛物线上，
故不存在这样的点，使为正方形．
9.
10.解：（1）由已知平分，平分，
且重合，则．．
又，．

．即．
．
且当时，有最大值．
（2）由已知，，均为人等腰直角三角形，
可得，，．
设过此三点的抛物线为，
则
．
（3）由（2）知，即点与重合时满足条件．
直线为，与轴交于点．
将向上平移2个单位则过点，
该直线为．
由得．
故该抛物线上存在两点满足条件．
11.解：（1），
水池的总容积为，
即
解得：或4
答：应为2或4
（2）由（1）知与的函数关系式为：
，
的取值范围是：
（3）
当时，有最大值40．5．
答：若使水池的总容积最大，应为3，最大容积为．
12. D
C
A
Q
O
G
E
B
P
x
y
解：（1）由，得，，
点坐标为，
抛物线经过点，
，．
抛物线的解析式为．
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点，
使四边形是正方形．以为边在的右侧作正方形．过作于，轴于，可证，
，，
点坐标为，点坐标为．
由（1）抛物线
当时，；当时，．
在抛物线上．
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点，使四边形是正方形．
（2）另解：在抛物线（对称轴右侧）上存在点，使四边形是正方形．
延长交抛物线于，过作，交抛物线于，连，设直线的解析式分别为；．
，的解析式为，同理得的解析式，解方程组得点坐标为．同理得点坐标为．
由勾股定理得，而，四边形是正方形．
故在抛物线（对称轴右侧）上存在点，使四边形是正方形．
（2）另解：在抛物线（对称轴右侧）上存在点，使四边形是正方形．
如图，将线段沿方向平移至，
的对应点是；再将线段沿方向平移至，同理可得．
，．
四边形是正方形．经验证两点均在抛物线上．
A
x
y
O
B
F

C
E
G
M
1
1
（3）结论②成立．证明如下：连，过作交延长线于，
则．
由（1）知是等腰直角三角形．

，是的直径，

13.(1) 根据题意，A（-4，2），D（4，2） ，E（0，6）．
设抛物线的解析式为，把A（-4，2）或D（4，2）代入得
16+6 =2.
得.
抛物线的解析式为.
【方法二】：设解析式为，代入A、D、E 三点坐标得

A

B
O
C
D
E

得，b =0 ，c = 6．
抛物线的解析式为．

(2) 根据题意，把 代入解析式，
得．
∵ 5.64 ＞4.5， ∴ 货运卡车能通过．　

(3) 根据题意，把 代入解析式，
得 .
∵ 4.31 ＜ 4.5，
∴ 货运卡车不能通过．
14.解：（1）由题意得，，的坐标分别为，，．
设所求抛物线解析式为．
A
P
B
x
y
P1
C
M
Q
Q1
O
l
则
，，．
所求抛物线为，
对称轴为直线．
（2）设时，与相切于点．
连结，，，则，．
又分别平分和，
而，
．
，
，
．
即，
．
由于时间只能取正数，所以．
即当运动时间时，与相切．
此时：，．
（3）点关于直线的对称点为，
则直线的解析式为：．
15.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自变量m的取值范围是0＜m＜8　　
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　
且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．　　
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
16.A
17.C
18.A