山东省冠县武训高级中学七年级数学上册《第3章 第3节 解一元一次方程》教案（2） （新版）新人教版.doc

《第3章第3节 解一元一次方程(2)》教案

一. 本周教学内容：
一元一次方程（二）

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。

列方程解应用题的主要步骤：
1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；
2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；
3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；
4. 求出所列方程的解；
5. 检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。

【学习提示】
一. 数字问题：
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a＋10b＋c。
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2N＋2或2N—2表示；奇数用2N＋1或2N—1表示。
例1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。
解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3X
X＋X＋7＋3X＝17 解得X＝2
X＋7＝9，3X＝6 答：这个三位数是926

例2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数
等量关系：原两位数＋36＝对调后新两位数
解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，
10×2X＋X＝（10X＋2X）＋36解得X＝4，2X＝8，答：原来的两位数是48。

二. 工程问题：
　　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例3. 一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？
[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是1/10，乙的工作效率是1/8
等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间＝1
解：设合作X天完成 （1/10＋1/8）X＝1 解得X＝40/9
答：两人合作40/9天完成

例4. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量＋乙完成工作量＝工作总量。
　　解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(＋)×3＋＝1，　　解这个方程，＋＋＝1 　　　　　
12＋15＋5x＝60 5x＝33　　　∴ x＝＝6
　　答：乙还需6天才能完成全部工程。

例5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
　　[分析]等量关系为：甲注水量＋乙注水量－丙排水量＝1。
　　解：设打开丙管后x小时可注满水池，
　　由题意得，(＋)(x＋2)－＝1
　　解这个方程，(x＋2)－＝1
　　 　 　　 　　 21x＋42－8x＝72
　　　　　　 　　 　 　 13x＝30
　　∴ x＝＝2
　　答：打开丙管后2小时可注满水池。

三. 行程问题：
　　[解题指导]
　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程＝速度×时间。
　　（2）基本类型有
　　　　 1）相遇问题；
　　　　 2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

　　例6. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和＋480公里＝600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，
由题意得，(140＋90)x＋480＝600解这个方程，230x＝120 　　　　　　　　
∴ x＝
　　答：小时后两车相距600公里。
　　（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x＋480＝600 　　　　　　　　　 50x＝120　　　　　　　
∴ x＝2.4
　　答：2.4小时后两车相距600公里。

分析：追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。 　　
解：设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x＝90x＋480 　　
解这个方程，50x＝480 　∴ x＝9.6
答：9.6小时后快车追上慢车。

分析：追及问题，等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。
解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x＝90(x＋1)＋480 　　　　　　　 50x＝570 　　　∴ x＝11.4 　　
答：快车开出11.4小时后追上慢车。

例7. 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
[分析]]追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程＝它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程
5X＝3X＋5 解得X＝2.5，狗的总路程：15×2.5＝37.5
答：狗的总路程是37.5千米。

例8. 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；
（2）逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度。相等关系为：顺流航行的时间＋逆流航行的时间＝7小时。
　　解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x－10)千米，
　　由题意得，X/（8＋2） ＋（X－10）/（8－2）＝7
　　解这个方程，X/10 ＋（X－10）/6＝7，　　　 ∴ x＝32.5
　　答：A、B两地之间的路程为32.5千米。

四. 利润赢亏问题
1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
2）有关关系式：
商品利润＝商品售价—商品进价＝商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率＝商品利润/商品进价
商品售价＝商品标价×折扣率

例9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？

[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式
进价
折扣率
标价
优惠价
利润率
60元
8折
x元
80%x
40%
等量关系：商品利润率＝商品利润/商品进价
解：设标价是x元，

解之：x＝105
优惠价为80%x＝（元）

例10. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
（1＋40%）X元
80%（1＋40%）X
15元
等量关系：（利润＝折扣后价格—进价）折扣后价格－进价＝15
解：设进价为X元，80%X（1＋40%）—X＝15，X＝125
答：进价是125元。

五. 储蓄问题
1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
2）利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息
利息税＝利息×税率（20%）
例11. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
[分析]等量关系：本息和＝本金×（1＋利率）
解：设半年期的实际利率为X，
250（1＋X）＝252.7
X＝0.0108
所以年利率为0.0108×2＝0.0216
答：银行的年利率是2.16%

例12. 为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：
1）直接存入一个6年期；
2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；
3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

六. 日历中的方程
例13. 1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？
2）如果用一个正方形所圈出的4个数的和为76，这四天分别是几号？
[分析]观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数
解：1）设竖列的四个数中最小的一个是X，其余三数分别为X＋7，X＋14，X＋21
X＋X＋7＋X＋14＋X＋21＝58，X＝4。所以这四个数是4号，11号，18号，25号
2）设四个数中最大的一个数Y，其余三个数是Y—1，Y—7，Y—8
Y＋Y－1＋Y－7＋Y－8＝76，Y＝23，所以这四个数是15、16、22、23

注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的3倍大1，它的十位上的数比百位上的数的4倍小3，如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换，得到的三位数比原来的三位数大270，求原来的三位数。
2. 一个四位数，左边第一位数字是7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少864，求原来的数。
3. 一件工作，甲独作20小时完成，乙独作12小时完成，现在先由甲独作4小时，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需几小时完成？
4. 一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？
5. 一个水池共有A、B两个进水管和一个排水管C，单开A管6小时注满水池，单开B管10小时注满全池，单开C管9小时把水池中的水排完。若先同时打开A、B两管，向空池内注水，2.5小时后，打开C管，则打开C管几小时后可将水池中注满水？
设X小时以后可以注满，
6. 甲乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米
（1）两车同时开出相向而行，几小时相遇？
（2）快车先开出30分钟后，两车相向而行，慢车行驶几小时两车相遇？
7. A、B两地的路程为100千米，小王骑车从A地到B地，小李跑步从B地到A地，小李出发三个半小时后，小王才出发，已知小王骑车的速度为10千米/小时，小李跑步的速度为8千米/小时，问两人各走几小时相遇？
8. 一队学生去校外郊游，以5千米/小时的速度行进，走了18分后学校将一重要通知传给队长，通讯员从学校出发，骑车以14千米/小时的速度按原路追上去，几小时可以追上队伍？
9. 一列快车长200米，速度为50千米/小时，一列慢车长250米，速度为30千米/小时，两车从相遇到分开共需几秒？
10. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按8折优惠出售，已知某种皮鞋进价是60元，8折以后商家仍获利利润率为40%，这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？
11. 某商店先在甲地以每件15元的价格购进商品10件，后来又以每件12.5元的价格在乙地购进同样的商品40件，如果商店销售这些商品时，获得12%利润率，商品售价应定为多少元？
12. 商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，商品打了几折？
14. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，募得票款6950元，成人票每张8元，学生票每张5元，问成人票和学生票各卖了多少张？
希望工程委员会决定把募捐款作为助学金发给山区的65名学生，其中每个初中生的助学金是150元，每个小学生的助学金为80元，问发给初中生和小学生各多少人？
15. 将若干支铅笔分给几个同学，若每人5支还剩3支；若每人7支还差5支，问有多少学生，有多少铅笔？
16. 有一些分别标有3、6、9、12…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，小明拿到了相邻的3张卡片，且这些卡片上的数字之和是342，
（1）小明拿到了哪三张卡片？
（2）小明拿到相邻的3张卡片上的数字和能是95吗？
17. 在3点钟和4点钟之间，时钟上的分针和时针什么时候重合？
18. 某厂第一月和第二月共生产化肥848吨，已知增长率为12%，求一月的产量是多少吨？
【试题答案】
1. 设百位上的数字为X，257
2. 设后三个数字组成的三位数X，7681
3. 设X小时完成 ，6小时
4. 设竹排静水中的速度为A，水流速度为B，则
A＋B＝1/5，A－B＝1/7，解得A＝1/35，再用1/（1/35）＝35小时
5. 设X小时以后可以注满，（2.5/6）＋（2.5/10）＋X/6＋X/10－X/9＝1 X＝15/7
6. （1）设X小时相遇，65X＋85X＝450，X＝3
（2）设X小时，65X＋85×0.5＋85X＝450，X＝163/20
7. 设小王出发X小时后相遇，10X＋8（X＋3.5）＝100 X＝4
8.设X小时追上，14X＝5×0.3＋5X，X＝1/6
9.设X秒，50X＋30X＝200＋250，X＝45/8
10. 105元，84元
11.设售价X元，X（10＋40）＝（15×10＋12.5×40）（1＋12%），X＝14.56
12. 7折
14.成人票650张，学生票350张，初中生有25人，小学生有40人
15.有学生4人，铅笔23支
16.（1）小明拿到了111，114，117
（2）X＝95/3，小明不可能拿到这样的三张
17.分析：这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是60个单位长度，分针与时针相距15个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时分针追上时针。

　　解：设在3点过x分钟后，两针重合，
　　由题意得：x－x＝15
　　解这个方程得：x＝16
　　答：两针在3点过16分时重合。
18. 解：设一月的产量是x吨，由题意得
　　x＋(1＋12%)x＝848
　　2.12x＝848 　　x＝400
　　答：一月的产量是400吨。
【励志故事】
永远做一个勤奋的人
在美国，有一个人在一年之中的每一天里，几乎都做着同一件事：天刚放亮，就伏在打字机前开始一天的写作。这个男人名叫斯蒂芬·金，是国际上著名的小说大师。
斯蒂芬·金的经历十分坎坷，他曾经潦倒得连电话费都交不出，电话公司因此而掐断了他的电话线。后来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，整天稿约不断，常常是一部小说还在他的大脑中储存着，出版社高额的定金就支付给了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奋的创作中度过的。
斯蒂芬·金的秘诀很简单，只有两个字：勤奋。一年之中，他只有三天时间是例外的，不写作。这三天是：生日，圣诞节，美国独立日（国庆节）。勤奋给他带来的好处是，永不枯竭的灵感。学术大师季羡林老先生曾经说过：“勤奋出灵感。”