浙江省泰顺县新城学校七年级数学下册 5.4 乘 法 公 式教案 浙教版.doc

5.4乘 法 公 式

一、背景介绍及教学资料
本教材改变了传统教材乘法公式单独成章的模式，而是在学习了整式乘法的基本知识之后直接导入，显得贴切自然，使学生体会到从一般到特殊的思想。另一方面，新课标对乘法公式的要求是：会推导乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。较之旧大纲，内容减少，要求降低。当然，乘法公式的推导是初中运用推理方法进行恒等变形的开端，在推导过程中使用了以特殊到一般的归纳推理方法，教学中不仅要求学生记住公式，理解公式，更要深入理解公式中字母的广泛含义。
二、教学设计
第1课时
【教学内容分析】
本节课引导学生用所学过的多项式和多项式相乘的法则，动手运算两数和与两数差的积结果，从而让他们体会两数和与两数差的积的结果与这两数的关系，从而得出平方差公式，并通过做一做给出它的几何解释，即增加可信度和印象，也增强学生的学习兴趣。
【教学目标】
1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、初步学会运用平方差公式进行计算。
【教学重点、难点】
重点是平方差公式的推导及应用。
难点是对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。
【教学准备】
展示课件。
【教学过程】
教学过程
设计说明
一、创设情景，导入课题
1、要求学生完成下列练习：
①（m＋n）（p＋q）
②（a＋b）（x－y）
③（2x＋3y）（a－b）
④（a＋2）（a－2）
⑤（3－x）（3＋x）
⑥（2m＋n）（2m－n）
2、问题：在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？（引导学生发现结果为平方差型的题目，并将此类题目重新组合到一起，供学生观察）在探索中引入课题。
二、交流探索，归结公式
1、探索
引导学生对引例中的④⑤⑥进行研究，对探索发现的特点进行整理归纳。
并回答问题：④⑤⑥小题等式左边有哪些特点？
回答问题：④⑤⑥小题等式右边有哪些特点？
2、归结
引导学生仔细而具体地观察题目特征，进而分析产生这些特点的原因，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

3、几何解释平方差公式
做一做：
展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）请计算图的阴影部分的面积（让学生用正方形的面积公式计算）。
（2）小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少？你能表示出它的面积吗？

图1

图2
让学生先思考小明的这种拼法对吗？（2）中的阴影部分的面积是（1）中的阴影部分的面积吗？并说明理由
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
先请同学们阅读，然后独立完成，由学生板书：
（1）a2－b2；
（2）长为（a＋b），宽为（a－b），它的面积是：
（a＋b）（a－b）。
（3）①②式相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
即a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
三、例题分析，巩固公式。
1、例1 利用平方差公式计算：
（1）（3x＋5y）（3x－5y）；
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）
（3）（-m＋n）（-m－n）
让学生仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点（老师可以引导学生：两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数）符合运用平方差公式的条件（教师引导学生把每个多项式的每一项看作是a，第二项看作是b）。
解：(1)(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）
＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b） （a－b）＝ a2 － b2
（3）（-m＋n）（-m－n）＝（-m）2－n2＝m2－n2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2
2、例2 用平方差公式计算
（1）103×93 （2）59.8×60.2
解：（1）103×93＝（100＋3）（100－3）
＝1002－32＝10000－9＝9991
（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）
＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96
可引导学生思考（103×93）比100×100小
59.8×60.2比60×60小
你发现了什么？
3、课内练习
课本P128练习题
四、探究延伸，发展能力
1、探究：怎样计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)+1？
你能找到比较简便的方法吗？
类似地，怎样计算(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)+1？
你能进一步的猜想吗？
2、备选练习
用平方差公式计算
（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）
（2）（-2x＋3y）（-2x－3y）
（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）
五、归纳小结，充实结构
1、今天学到了什么？
让学生口头表述平方差公式的内容，并用字母写出它的表达式。
2、你认为平方差公式的用处是什么？
3、怎样使用平方差公式？
六、知识留恋，课后韵味
布置作业：课后作业题

承上启下作用，即复习了旧知识，又为新课埋下了伏笔。

学生在教师的引导下，自主探索问题。

学生是学习的主体，学生是在教师引导下，自主发现和认识问题，并且经过自主探索获得数学知识。学生获得知识的过程，实际上是学生在已有经验的基础上，在教师的指导下主动构建知识的过程。学生在教师的组织指导下，在获得数学知识的同时受到科学发现的熏陶，享受发现公式的乐趣，学习兴趣得到激发，思维能力得到发展，学习效率大大提高，同时还学会学习、交流、合作。

通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，使学生对此公式有一个直观认识。

起范例和巩固公式的作用，并使学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式。

培养学生观察能力和发现问题的能力，以及运用所学的知识灵活解决问题的能力。

适当的提高、点拔，而起到分层次教学的作用，又使学生体会公式的运用。

（1）（2）用来分辨公式的a，b。
（3）稍有综合，培养综合运用能力。

使学生进一步明确公式，认识到平方差公式在多项式乘法中的重要作用以及如何正确使用平方差公式。

【设计说明】
让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们学习的动力，培养他们良好的学习习惯。
让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。
运用图形来解释和探究公式，显得直观贴切，同时领悟数形结合的数学思想。
教师从学生学习的传授者真正变为学生学生的合作者。在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识，则由学生自己得出。这样，即加深了学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴
第5.4节 第二课时

【教学内容分析】
本节课通过学生合作学习，利用多项式相乘法则和图形解释而得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。
【教学目标】
1、通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2、通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、初步学会运用完全平方公式进行计算。
【教学准备】
展示课件。
【教学过程】
教学过程
设计说明
一、回顾与思考
复习平方差公式及如何运用。
二、合作学习，探求新知
1、合作学习：
布置各小组开展节前小组学习，然后结合各小组合作学习情况开始共同探究。
2、代数探究
运用多项式与多项式相乘的法则计算
（1）（a＋b）2 （22＋x）2
（3）（2a＋x）2
观察上述3题的计算结果，你发现有什么规律？
3、几何探究

如图

你能用多种形式表示上图的面积吗？
形式一：（a＋b）2
形式二：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
形式一和形式二表示的是同一个图形的积，所以
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
4、形成公式，巩固练习
综上所述，我们有以下两数和的完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
模仿练习：（a＋1）2＝
（3＋x）2＝
（2a＋3b）2＝
5、换元拓展
提问；（a－b）2等于什么？是否可以写成[a＋（-b）]2?
你能继续做下去吗？
通过讨论，尝试得到（a－b）2＝a2－2ab＋b2
即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
模仿练习：（y－7）2＝
（7－y ）2＝
三、探求规律，巩固练习
1、探求规律
在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放。”
公式变形为：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
2、运用规律
填表
式子
首项
尾项
结果的中间项
结 果
(完全平方式)
符号
系数
(x+2y)2

(2a-5)2

(-2s+t)2

(-3x-4y)2

组织学生展开讨论，由上面的表格不难得出：首尾平方总得正，中间符合看首尾项的积，同号得正，异号得负，中间的两倍记牢，进而总结步骤为：
（一）确定首尾，分别平方；
（二）确定中间项的系数和符号，得出结论。
3、巩固练习
（1）（2a＋3）2 （2）（b－3）2
（3）（-2x－3y）2 （4）（3－1/3t）2
（50.5m－0.2n）2
（6）（1－3x）（3x-1）
四、运用法则，解决问题
例：花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？
解：（略）。

五、发散练习，勇于创新
（1）下列计算是否正确？如何改正
①（a＋b）2＝a2＋b2
②（a－b）2＝a2－b2
③（a＋2b）2＝a2＋2ab＋b2
（2）填空
①a2＋b2＋ ＝（a＋b）2
②a2＋b2－ ＝（a－b）2
③x2＋4y2＋ ＝（x＋2y）2
④x2＋4y2－ ＝（x－2y）2
（3）运用完全平方公式计算，
992= 1002= 。
（4）请你编1～3个完全平方式，并说出首尾项。

六、归纳小结，充实结构
1、今天你学到了什么？
2、完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2
3、口诀
七、知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题。
温故而知新，
加强知识联系。

通过合作、交流，培养学生自主探究、自主学习的能力。

从代数、几何两个方面探索和论证公式，了解公式的产生过程，加深印象和公式的可信度，并对公式有一个直观的认识。

若学生直接用多项式乘法来推导，亦应予以鼓励，这里渗透换元法这种重要的思想方法。

得到法则后，进行了简单的公式模仿，有了初步的感性认识，然后进一步启发学生分析法则特征，诱导他们总结规律，才能更好地掌握公式，领会其实质。这里的“口决”和抓住中间项正是总结完全平方公式的实质。

设计（6）为作业做好铺垫。

此例为了解决从掌握知识到运用知识的转化，使知识教学和能力培养结合起来，从而进一步加深对法则的理解，培养学生学会运用数学。
编排发散练习，能进一步培养学生的创新能力，有效地开发学生的思维潜能，激发学生的学习兴趣，让学生在不知不觉中进一步理解并消化知识。
设计（1）对学生可能出现错误作及时预防；
设计（2）使学生对完全平方式有初步的了解。
设计（4）能开阔学生的思维，给学有余力的同学提供更广阔的学习空间，学生对公式的理解也获得了升华。

通过小结比，梳理知识
构建新知识。
【设计说明】
本课时通过合作学习，即通过学生的合作交流，不断探究，自主地构建新知识，然后及时地巩固新知识，并用口诀、表格对知识中的重点和难点予以解决并落实。
在学生的合作学习，探究与交流中渗透了换元思想和数形结合思想，在运用公式过程中，体会从一般到特殊，再从特殊到一般的关系。