福建省泉州市泉港区三川中学中考数学一轮复习 三角形教案.doc

三角形教案
【课标要求】
(1)了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.
(2)探索并掌握三角形中位线的性质.
(3)了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；一个三角形是等腰三角形的条件：有两个角相等的三角形是等腰三角形；了解等边三角形的概念并探索其性质.
(4)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半；判定一个三角形是直角三角形的条件：有两个角互余的三角形是直角三角形.
(5)体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
【课时分布】
三角形部分在第一轮复习时大约需要4时，其中包括单元测试.
课时数
内 容
1
三角形的有关概念、等腰三角形
1
直角三角形、勾股定理
2
单元测试与评析

【知识回顾】
1、 知识脉络

2、基础知识
（１）三角形的边、角关系
①三角形任何两边之和大于第三边；
②三角形任何两边之差小于第三边；
③三角形三个内角的和等于１８０°；
④三角形三个外角的和等于３６０°；
⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
（2）三角形的主要线段和外心、内心
①三角形的角平分线、中线、高；
②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；
③三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；
④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
（3）等腰三角形
等腰三角形的识别：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；
③三边相等的三角形是等边三角形；
④三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形的性质：
①等边对等角；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；
④等边三角形的三个内角都等于60°.
（4）直角三角形
直角三角形的识别：
①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；
②有两个角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3、能力要求
例1（1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长.
（2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另两个内角的度数.
【分析】利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得.
【解】(1)分两种情况:
①若腰长为12,底边长为5,则第三边长为12.
②若腰长为5,底边长为12,则第三边长为5.但此时两边之和小于第三边,故不合题意.
因此第三边长为12.
(2)分两种情况:
①若顶角为80°,则另两个内角均为底角分别是50°、50°.
②若底角为80°,则另两个内角分别是80°、20°.
因此这个三角形的另两个内角分别是50°、50°或80°、20°.
【说明】此题运用“分类讨论”的数学思想,本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系.
例2如图,⊿ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定⊿ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选择第(1)小题中一种情形,证明⊿ABC是等腰三角形.

【分析】本题第(1)小题属于条件开放性问题,经过探索补全条件;第(2)小题若选择情形一,即条件①③,由于条件都集中在⊿BOE和⊿COD中,故可通过⊿BOE≌⊿COD,证得OB=OC,这样∠OBC=∠OCB,从而可证得∠ABC=∠ACB,进而得AB=AC.
【解】(1)可判定⊿ABC是等腰三角形的两个条件是①③或①④或②③或②④
(2)选择情形一,即条件①③
在⊿BOE和⊿COD中
∠BOE=∠COD,∠EBO=∠DCO,BE=CD,
∴⊿BOE≌⊿COD(AAS). ∴OB=OC. ∴∠OBC=∠OCB.
∵∠EBO=∠DCO, ∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
即⊿ABC是等腰三角形.
【说明】本题第(1)小题是开放性问题, 属于条件开放型,需解题者经过探索补全条件,然后完成解答,本题还着重考查了全等三角形的识别﹑等腰三角形的识别与性质.
例3已知:如图,⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上的一点,求证:(1)⊿ACE≌⊿BCD， (2)AD+AE=DE.

【分析】要证⊿ACE≌⊿BCD,已具备AC=BC,CE=CD两个条件,还需AE=BD或∠ACE=∠BCD,而∠ACE=∠BCD显然能证;要证AD+AE=DE,需条件∠DAE=90°,因为∠BAC=45°,所以只需证∠CAE=∠B=45°,由⊿ACE≌⊿BCD能得证.
【证明】(1)∵∠DCE=∠ACB=90°, ∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD,
即∠ACE=∠BCD, ∵AC=BC, CE=CD,
∴⊿ACE≌⊿BCD.
(2) ∵⊿ACE≌⊿BCD, ∴∠CAE=∠B=45°,
∵∠BAC=∠B=45°,∴∠DAE=90°,
∴AD+AE=DE.
【说明】本题着重考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和直角三角形的勾股定理.
例4已知:点P是等边⊿ABC内的一点, ∠BPC=150°,PB=2,PC=3,求PA的长.

【分析】将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD,即可证得⊿BPD为等边三角形,⊿PCD为直角三角形.
【解】∵BC=BA,
∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°,使BA与BC重合,得⊿BCD,连结PD.
∴BD=BP=2,PA=DC.
∴⊿BPD是等边三角形.
∴∠BPD=60°.
∴∠DPC=∠BPC-∠BPD=150°-60°=90°.
∴DC=．
∴PA=DC=.
【变式】若已知点P是等边⊿ABC内的一点，PA=，PB=2，PC=3.能求出∠BPC的度数吗？请试一试.
【说明】本题的解法采用了旋转的方法，这是我们解题时常用的一种方法。本题着重考查了等边三角形的有关知识和勾股定理及逆定理.
例5已知:矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上点E重合.
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G，AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G，⊿AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.

【分析】(1)由轴对称的性质和勾股定理即可求出DE的长.（2）要求折痕FG的长，只要求出OF的长。由于⊿EFO∽⊿EAD，OE=OA，所以只要求出DE的长.设DE=x，则OM=x.因为⊿ADE的外接圆与直线BC 相切，所以OA=OE=ON=2-x，所以AE=4-x.在Rt⊿ADE中，由勾股定理可求出x，从而问题得以解决.
解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°
由轴对称的性质，得EF=AF=, ∵DF=AD-AF=,
在Rt⊿DEF中，DE=.
（2）设AE与FG交于O，根据轴对称的性质，得OA=OE，取AD中点M，连结MO并延长交BC于N，则OM∥DE,OM=DE. 设DE=x，则OM=x.
∴ON=MN-OM=2-x.
∵⊿ADE的外接圆与直线BC相切，AE为直径,
∴ON=OA=OE=AE. ∴AE=2OF=4-x.
在Rt⊿ADE中，x+1=(4-x), ∴x=.
∴DE=， OE=2-x=.
根据轴对称的性质，得∠EOF=∠D=90°.
∵∠FEO=∠AED, ∴⊿EFO∽⊿EAD. ∴=.
∴OF=. ∴FG=2OF=.
∴折痕FG的长为.
【说明】折叠图形问题,着重考查动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等.折叠图形的常见类型有对角线折叠问题、角平分线折叠问题、轴对称折叠问题、两点重合折叠问题.本题综合应用了勾股定理、相似形和圆等有关知识.
【复习建议】
1立足教材，重视基础知识，通过复习，更好地掌握三角形部分的有关基本知识，培养学生几何论证的能力和逻辑思维能力.
2重视对学生“分类讨论”、“旋转”、 “折叠”等数学思想方法的培养.
3开放探索性问题在近年来的中考中占有相当比例.开放探索性问题需要通过运用观察、想象、分析、综合、类比、猜想、归纳、推断等探索活动寻求解题策略,设计解题方案,构建解题模型,实现问题转化.
4加强三角形与图形的全等、相似，四边形等有关知识的联系，几何与代数知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平.