信号与系统课件全书教学教程电子教案幻灯片.ppt

,*,*,*,*,*,*,*,第,1,章,信号与系统的基本概念,学习重点：,信号和信号分析的概念；,系统和系统分析的概念；,线性系统的性质及应用；,认识几种简单信号；,学会信号简单运算的方法；,掌握单位冲激信号的概念；,1.1,信号与系统,1.2,信号的描述与分类,1.3,基本的连续时间信号,1.4,信号的基本运算与变换,1.5,阶跃信号和冲激信号,1.6,信号的分解,1.7,系统模型及其分类,本章目录,在电子信息、通信、自控、微电子和计算机等领域中，经过100多年的发展历程，涌现出了无数科学发现和技术发明。,1.1,信号与系统,信息时代的特征,用信息科学和计算机技术的理论和手段来解决科学、工程和经济问题,图1,贝尔与电话,图2 马可尼与无线电,图3,第一台计算机与今天的微型电脑,图4 半导体材料与基尔比发明集成电路,信号与系统问题无处不在,通讯,古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯,近代通讯方式：电报、电话、无线通讯,现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯,应用领域,0001 1010 0111 1100 0110 0101,0101 0111 0110 0101 0001 1000,波形特征：周期、时间间隔、信号幅度、信号极性、信号斜率,信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域,工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报、人工智能、高效农业、交通监控,宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统,经济预测、财务统计、市场信息、股市分析,电子出版、新闻传媒、影视制作,远程教育、远程医疗、远程会议,虚拟仪器、虚拟手术,1.2.1 信号的描述,1.2.2 信号的分类,1.2,信号的描述与分类,1.2.1 信号的描述,信号,（signal）,是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。,定义：携带消息的随时间变化的物理量，用来传递信息。（声、光、电、力、振动、流量、温度,）,消息（message）：语言、文字、图像、符号,信息（information）：消息中的新内容、新知识。,信号是消息的具体表现形式，根据消息的物理形态的不同而不同，而消息则是信号的具体内容。,信号、消息、信息的区别：,描述信号的常用方法,（,1,）表示为时间的函数,-,“,信号,”,与,“,函数,”,两词常相互通用。,（,2,）信号的图形表示-波形。,（,3,）,频率特性：频谱分析，可以用以f或,为自变量的函数表示。,信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。,电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号,-,简称,“,信号,”,。,电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。,1.2.1 信号的描述,1.2.2,信号的分类,按实际用途划分：,电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，,信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行类。,按所具有的时间特性划分：,确定信号和随机信号 连续信号和离散信号,周期信号和非周期信号 能量信号与功率信号,一维信号与多维,信号 因果信号与非因果信号,实信号与复信号,1.,确定信号和随机信号,可用确定的时间函数表示的信号。,对于指定的某一时刻,t,，有确定的函数值,f,(,t,),。,确定性信号,随机信号,伪随机信号,貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。,取值具有不确定性的信号。,如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。,1.2.2,信号的分类,图5 确定性信号与随机信号,1.2.2,信号的分类,2.,连续信号和离散信号,连续时间信号：在连续的时间范围内,(-,t,）有定义的信号，简称连续信号。,这里的,“,连续,”,指函数的定义域-时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。,用,t,表示连续时间变量。,值域连续,值域不连续,1.2.2,信号的分类,1.2.2,信号的分类,离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。,定义域-时间变量是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的,f,(,t,),仅在一些离散时刻,t,k(,k,=0,1,2,),才有定义，其余时间无定义。,上述离散信号可简画为,用表达式可写为,或写为,f,(,k,)=,，,0,，,1,，,2,，,-1.5,，,2,，,0,，,1,，,0,，,k,=0,通常将对应某序号,m,的序列值称为第,m,个样点的,“,样值,”,。,1.2.2,信号的分类,模拟信号，抽样信号，数字信号,数字信号：时间和幅值均为离散的信号。,模拟信号：时间和幅值均为连的信号。,抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号,。,量化,抽样,1.2.2,信号的分类,3.,周期信号和非周期信号,定义在,(-,，,),区间，每隔一定时间,T,(,或整数,N,），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号,f,(,t,),满足,f,(,t,)=,f,(,t,+,n,T,),，n,=0,1,2,离散周期信号,f,(,k,),满足,f,(,k,)=,f,(,k,+,n,N,),，n,=0,1,2,满足上述关系的最小,T,(,或整数,N,),称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,1.2.2,信号的分类,图6 周期信号与非周期信号,1.2.2,信号的分类,举例,例,1,判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。,（,1,）,f,1,(,t,)=sin2,t,+cos3,t,（,2,）,f,2,(,t,)=cos2,t,+sin,t,分析,两个周期信号,x,(,t,),，,y,(,t,),的周期分别为,T,1,和,T,2,，若其周期之比,T,1/,T,2,为有理数，则其和信号,x,(,t,)+y(,t,),仍然是周期信号，其周期为,T,1,和,T,2,的最小公倍数。,1.2.2,信号的分类,（,1,）,sin2,t,是周期信号，其角频率和周期分别为,1,=2 rad/s,，,T,1,=2/,1,=,s,cos3,t,是周期信号，其角频率和周期分别为,2,=3 rad/s,，,T,2,=2/,2,=(2/3)s,由于,T,1,/T,2,=3/2,为有理数，故,f,1,(,t,),为周期信号，其周期为,T,1,和,T,2,的最小公倍数,2,。,（,2,）,cos2,t,和,sin,t,的周期分别为,T,1,=s,，,T,2,=2 s,，由于,T,1,/T,2,为无理数，故,f,2,(,t,),为非周期信号。,解答,1.2.2,信号的分类,4.因果信号和非因果信号,因果信号,t,=0,接入系统的信号称为因果信号，也称为有始信号（单边信号）。,1.2.2,信号的分类,5能量信号与功率信号,将信号,f,(,t,),施加于,1,电阻上，它所消耗的瞬时功率为,|,f,(,t,)|,2,，在区间,(,),的能量和平均功率定义为,（,1,）信号的能量,E,（,2,）信号的功率,P,若信号,f,(,t,),的能量有界，即,E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时,P=0,若信号,f,(,t,),的功率有界，即,P 0,如,t,t,1,右移,t,t,+1,左移,雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。,1.4.2,信号的变换,3.,信号的展缩,(,尺度变换）,将,f,(,t,),f,(,at,),，称为对信号,f,(,t,),的尺度变换。,若,a,1,，则波形沿横坐标压缩；若,0,a,1,，则扩展。如,t,2,t,压缩,t,0.5,t,扩展,1.4.2,信号的变换,平移与反转相结合举例,例,已知,f,(,t,),如图所示，画出,f,(2,t,),。,方,法一,：先平移,f,(,t,),f,(,t,+2),再反转,f,(,t,+2),f,(,t,+2),方法二,：先反转,f,(,t,),f,(,t,),再平移,f,(,t,),f,(,t,+2),左移,右移,=,f,(,t,2),解答,1.4.2,信号的变换,平移与展缩相结合举例,例,已知,f,(,t,),如图所示，画出,f,(3,t,+5),。,解答,时移,尺度,变换,尺度,变换,时移,1.4.2,信号的变换,平移、展缩、反折相结合举例,例,已知,f,(,t,),如图所示，画出,f,(-2,t,-4),。,解答,压缩,得,f,(2,t,-4),反转，得,f,(-2,t,4),右移,4,，得,f,(,t,4),1.4.2,信号的变换,也可以先压缩、再平移、最后反转,压缩，得,f,(2,t,),右移,2,，得,f,(2,t,4),反转，得,f,(-2,t,4,),1.4.2,信号的变换,若已知,f,(,-,4,-,2,t,),，画出,f,(,t,),反转，得,f,(2,t,4),扩展，得,f,(,t,4),左移,4,，得,f,(,t,),验证：,计算特殊点,1.4.2,信号的变换,可以看出：,混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意,一切变换都是相对,t,而言,。,通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对逆运算，反之。,1.4.2,信号的变换,阶跃函数,冲激函数,是两个典型的奇异函数。,1.5,阶跃函数和冲激函数,函数本身有不连续点,(,跳变点,),或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为,奇异信号或奇异函数。,（,斜坡信号、阶跃信号、冲激信号、冲激偶信号等,）,1.5.1,单位斜变信号,1,定义,3,三角形脉冲,由宗量,t,-,t,0,=0,可知起始点为,2,有延迟的单位斜变信号,1.5.2,单位阶跃信号,1,定义,单位阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到另一个状态的描述。如图（,a,）所示，在,t,=0时刻对某一电路接入1,V,的直流电压源，并且无限持续下去。这个电路获得电压信号的过程就可以用单位阶跃函数来描述。,单位阶跃信号,1.5.2,单位阶跃信号,宗量,0,函数值为,1,2.,有延迟的单位阶跃信号,3,用单位阶跃信号描述其他信号,其他函数,只要用门函数处理,(,乘以门函数,),，就只剩下门内的部分。,符号函数：,(Signum),门函数：也称窗函数,1.5.2,单位阶跃信号,1.5.3,单位冲激信号,1.冲激函数定义,定义一：规则信号取极限,矩形脉冲求极限,矩形面积不变，宽趋于0时的极限,S=1,若面积为,k,，则强度为,k,。,1.5.3,单位冲激信号,冲激函数可以由其他规则函数演变而来,三角脉冲的极限,双边指数脉冲的极限,钟形脉冲的极限,抽样脉冲的极限,1.5.3,单位冲激信号,(2),狄拉克,(Dirac),定义,函数值只在,t,=0,时不为零；,积分面积为,1,；,t,=0,时，,为无界函数。,1.5.3,单位冲激信号,冲激信号的延迟表示：,图2,1.5.3,单位冲激信号,(,t,)的性质,(,t,)是偶函数：,(t)=,(,t,),(,t,)的取样性：,f,(,t,),(,t,)=,f,(0),(,t,),f,(,t,),(,t,t,0,)=,f,(,t,0,),(,t,t,0,),故,1.5.3,单位冲激信号,图3 冲激筛选示意图,1.5.3,单位冲激信号,取样性质举例,1.5.3,单位冲激信号,定义：单位冲激信号的导数,图4,冲激偶函数,1.5.4,单位冲激,偶,信号,奇函数:,积分:,筛选特性:,O,t,1.5.4,单位冲激,偶,信号,单位斜变信号、单位阶跃信号和单位冲激信号之间的关系,t,O,1,O,t,t,O,1,1,O,t,1.5.4,单位冲激,偶,信号,一,.,直流分量与交流分量,1.6,信号的分解,二,.,偶分量与奇分量,三,.,脉冲分量,四,.,实部分量与虚部分量,一,.,直流分量与交流分量,1.6,信号的分解,若为电流信号，则在时间间隔,T,内流过单位电阻所产生的平均,功率为,1.6,信号的分解,二,.,偶分量与奇分量,偶分量定义为,任何分量都可以分解为偶分量和奇分量之和。这是因为任何信号总可以写成如下形式：,其中,1.6,信号的分解,偶分量定义为,图,1-25,信号的偶分量与奇分量,用类似的方法可以证明：信号的的平均功率等于偶分量功率与奇分量功率之和。,三,.,脉冲分量,1.6,信号的分解,一个信号可以近似地分解为矩形脉冲之和，其中一种，是分解,为矩形窄脉冲分量，,窄脉冲组合的极限情况就是冲激信号的,叠加；另一种情况分解为阶跃信号分量的叠加，,(a),信号分解为脉冲分量之叠加,(b),信号分解为阶跃信号分量之叠加,四,.,实部分量与虚部分量,1.6,信号的分解,1.7,系统模型及其分类,1.7.1,系统的数学模型,1.7.2,系统的模拟,1.7.3,系统的分类,系统（system）：由若干相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。,无线电广播系统组成,一、系统的定义,1.7,系统模型及其分类,系统的数学模型是指系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合来表示系统特征。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元,(,如加法器、乘法器、积分器等,),构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。,1.7.1,系统的数学模型,除利用数学表达式描述系统模型之外，还可以借助方框图来表示系统模型。每个方框反映某种数学功能，给出该方框图的输出与输入信号的约束条件，由若干方框图组成一个完整的系统。对于线性微分方程描述的系统，其基本运算单元为加法器、数乘器和积分器。,1.7.2,系统的模拟,3.,标量乘法器（数乘器，比例器）,1.,加法器,注意,:,与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。,1.7.2,系统的模拟,2.,积分器,例,1,3,用积分器画出如下微分方程所代表系统的系统框图,1.7.2,系统的模拟,解,首先将微分方程转化为积分方程，所得结果为,因此得到系统框如图,所示。,1.7.3,系统的分类,1.,线性系统与非线性系统,2.,时不变系统和时变系统,3.,连续时间系统和离散时间系统,4.,因果与非因果系统,1.8,线性时不变系统,1.8.1,叠加性与均匀性,1.8.2,时不变性,1.8.3,微分与积分特性,1.8.4,因果性,1.8.5,稳定性,1.8.1,叠加性与均匀性,线性系统：指具有线性特性的系统,线性,:,指均匀性，叠加性。,叠加性：,均匀性,(,齐次性,),：,1.,定义,1.8.1,叠加性与均匀性,判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统,?,分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有,均匀性,和,叠加性,。可以证明：,所以,此系统为,非线性系统。,系统不满足均匀性,系统不具有叠加性,若,e,(,t,),r,(,t,),则,e,(,t,t,0,),r,(,t,t,0,),1.8.2,时不变性,定义：一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变（时不变）系统，否则称为时变系统,。,电路分析上看,:,元件的参数值是否随时间而变,从方程看,:,系数是否随时间而变,从输入输出关系看,:,1.8.2,时不变性,1.8.2,时不变性,:,判断下列两个系统是否为非时变系统,1.,系统的作用是对输入信号作余弦运算。,此系统为时不变系统,。,系统,1,：,系统,2,：,解答,此系统为时变系统。,系统作用,:,输入信号乘,cos(,t,),系统,2,：,1.8.3,微分与积分特性,线性时不变系统满足微分特性、积分特性。其示意图,如图,所示,利用系统的线性可以证明，结果可推广至高阶,微分或积分。,1.8.4,因果性,因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻,系统的这种特性称为因果特性。,符合因果性的系统称为因果系统,(,非超前系统,),。,1.,定义,1.,定义,2.,判断方法,输出不超前于输入,实际的物理可实现系统均为因果系统,非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。,若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。,1.8.5,稳定性,一个系统，若对有界的激励,f,(.),所产生的零状态响应,y,zs,(.),也是有界时，则称该系统为,有界输入有界输出稳定,，简称,稳定,。即 若,f,(.),，其,y,zs,(.)0,时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统,的冲激响应。,(t),特征方程,特征根,下面的问题是确定系数,A,求,A,有两种方法：,方法,2,：奇异函数项相平衡法，定系数,A,。,方法,1:,冲激函数匹配法求出 ，定系数,A,。,即,:,2.2.1,冲激响应,方法,2,：奇异函数项相平衡原理,代入原方程,整理，方程左右奇异函数项系数相平衡,已知方程,冲激响应,求导,注意,！,2.2.1,冲激响应,2.2.1,冲激响应,图,2-5,电容电压的冲激响应,图,2-6,电容电流的冲激响应,2.2.1,冲激响应,解：,求特征根,冲激响应,求系统 的冲激响应。,将,e,(,t,),(,t,),，,r,(,t,),h,(,t,),带,u,(,t,),求待定系数,求,0+,法,奇异函数项相平衡法,例,2-2-2,2.2.1,冲激响应,代入,h,(,t,),得,求,0,+,定系数,用奇异函数项相平衡法求待定系数,根据系数平衡，得,2.2.1,冲激响应,例,2-2-3,已知某线性非时变,(LTI),系统在,作用下，产生的零状态响应为,试求系统的冲激响,。,2.2.1,冲激响应,已知,根据非时变系统的特性，可以有,根据线性系统的特性，可以有,解,:,（,1,）定义,线性非时变系统（,LTI,），当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用,表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数,时，系统的零状态响应，如图,2-7,所示。,2.2.2,阶跃响应,图,2-7,阶跃响应示意图,n,阶线性时不变系统的跃响应,对应的的微分方程为：,2.2.2,阶跃响应,及起始条件激励的各阶导数为零，但不为零，因此，系统的阶跃响应,g(t),的形式为齐次解加特解。,跃响应与冲激响应的关系,例,2-2-4,已知系统的微分方程为：,求系统的阶跃响应,。,2.2.2,阶跃响应,解：,由零状态线性性得：,2.3,卷积积分,教学目的：,深刻理解并掌握卷积的定义，会利用其性质求卷积，掌握卷积在,LTI,系统中的应用。,教学重点：,卷积的定义，卷积的代数律及性质，卷积在,LTI,系统中的应用。,教学难点：,理解卷积的图解法，掌握卷积的系统分析法，会求任意输入信号产生的零状态响应。,2.3.1,卷积的定义,若,f,1,(t),、,f,2,(t),均为因果信号：,设,f,1,(t),、,f,2,(t),是定义在区间（，）上的两个连续信号，将积分,定义为,f,1,(t),和,f,2,(t),的卷积，记作,即：,例,求,解,设,1,=1,，,2,=3,，则,2.3.1,卷积的定义,4.,相乘,5.,积分，求函数 的面积。,1.,换元（,t,),3、卷积的,图解,法,2.,反折,3.,移位,2.3.2,卷积计算,图,1,2.3.2,卷积计算,(1),0,t,2,时,(2,),t,2,时,图,2,4、系统的卷积分析法,零状态响应,=,输入信号冲激响应,y,(,t,)=,f,(,t,),h,(,t,),过程：,LTI,（零状态）,(,t,),h,(,t,),（定义）,(,t,),h,(,t,),（时不变性）,f,(,t,),(,t,),f,(,t,),h,(,t,),f,(,t,),y,(,t,),f,(,),(,t,),f,(,),h,(,t,),（齐次性）,（可加性）,2.3.2,卷积计算,图,8,求零状态响应的图示,2.3.2,卷积计算,（1）代数性质：,a、交换律：,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)=,f,2,(,t,)*,f,1,(,t,),如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。,2.3.3,卷积积分的性质,b、结合律：,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)*,f,3,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)*,f,3,(,t,),系统级联，框图表示：,结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等,于子系统冲激响应的卷积。,2.3.3,卷积积分的性质,c、分配律：,系统并联,：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于,各子系统冲激响应之和。,2.3.3,卷积积分的性质,（,3,）积分特性：,应用：,f,(,t,)*,(,t,)=,f,(,t,)*,(1),(,t,),若,y,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),则,即信号,f,(,t,),与阶跃信号卷积，就等于信号,f,(,t,),的积分。,若,y,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),则,y,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),应用：,f,(,t,)*,(,t,=,f,(,t,),（,2,）微分特性：,2.3.3,卷积积分的性质,图,3,若,y,(,t,)=,f,1,(,t,),f,2,(,t,),则,（,4,）卷积的延时特性：,2.3.3,卷积积分的性质,例,信号与冲激函数的卷积,图,4,2.3.3,卷积积分的性质,（,5,）函数与冲激函数的卷积：,1,）任意函数,f(t),与单位冲激函数,(t),的卷积仍为该函数本身。,图,5,2.3.3,卷积积分的性质,即：,2,）任意函数,f,(,t,),与移位的冲激函数,(,t,-,t,1,),的卷积为,f,(,t,-,t,1,),。,图,6,2.3.3,卷积积分的性质,即：,3,）任意函数,f,(,t-t,1,),移位后与移位的冲激函数,(,t,-,t,2,),的卷积为,f,(,t,-,t,1,-,t,2,),。,图,7,2.3.3,卷积积分的性质,推广：,2.3.3,卷积积分的性质,两个重要结论：,任意函数 与单位冲激函数 的卷积仍为该函数本身。即：,LTI,系统对于任意输入信号,f,(,t,),的零状态响应等于信号函数与该系统的冲激响应,h,(,t,),的卷积。即：,2.3.3,卷积积分的性质,2.3.3,卷积积分的性质,例,2-2-5,已知 ，,，,求,解：,表,2.3,卷 积 表,2.3.3,卷积积分的性质,第三章 信号与系统的频域分析,学习重点：,周期信号频谱的特点；,非周期信号的频谱函数；,信号的频带宽度；,傅氏变换的性质和应用；,系统的频率特性；,无失真传输条件；,采样定理及其应用；,本章目录,3.1,周期信号的分解与合成,3.2,周期信号的频谱,3.3,非周期信号的频谱,3.4,傅里叶变换的性质,3.5,周期信号的傅里叶变换,3.6,连续系统的频域分析,3.7,取样定理,3.8,频域分析用于通信系统,3.1,周期信号的分解与合成,1768,年生于法国,1807,年提出,“,任何周期信号都可用收敛的正弦函数级数表示,”,1829,年狄里赫利第一个给出收敛条件,拉格朗日反对发表,1822,年首次发表在,“,热的分析理论,”,一书中。,3.1,周期信号的分解与合成,狄里赫利（,Dirichlet,）条件,条件,1,：在一周期内，有有限个间断点。,条件,2,：在一周期内，有有限个极大值和极小值。,条件,3:,在一周期内，信号绝对可积,即,一、周期信号分解为三角级数,在满足,狄氏条件,时，可展成,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,(1),直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,A,n,：,n,次谐波幅度,：,n,次谐波初相角,余弦形式,例,3.1-1,如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。,解,由于这里,f,(,t,),是奇函数，故有,所以,f,(,t,),的傅里叶级数为,图,1,二,.,周期信号的复指数级数表示,周期信号,f(t)=f(t+nT),，满足狄氏条件时，可展成：,其中：,其中 为各次谐波的幅度,(n=1,2,3,.),系数与三角形式傅立叶级数的关系：,例,3.1-2,对于周期矩形波，试求其指数表示式。,解,所以,图,2,关系曲线称为,幅度频谱图,；,关系曲线称为,相位频谱图,。,3.2,周期信号的频谱,周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化的图形。,振幅频谱：,所谓振幅频谱为以,为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图；描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。,相位频谱：,为以,为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图描述傅氏级数相位随频率变化的图形。,3.2.1,频谱的特点,矩形波,频谱图,图,4,图,3,离散性：,频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。,谐波性：,频谱的每一条谱线只能出现在基波频率,的整数倍频率上，即含有,的各次谐波分量，而决不含有非,的谐波分量。,收敛性：,频谱的各次谐波分量的振幅虽然随,n,的变化有起伏变化，但总的趋势是随着,n,的增大而逐渐减小。当,n,时，,|,F,n,|0,。,周期信号频谱的特点：,对于周期矩形脉冲，在一个周期内为,则复系数,图,5,其中,Sa(,),形式如下。,3.2.,2,周期矩形脉冲频谱与信号的带宽,抽样函数：,当 时，,Sa(,t,)=0,图,6,图,7,Sa(,t,),：,F,n,：,f,(,t,),的双边谱,周期矩形脉冲信号含有,无穷多条谱线,，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的,主要频率分量,传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将,=0,这段频率范围称为矩形脉冲信号的,频带宽度,。记为,频带宽度（带宽）：,结论：,信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。,3.2.3,周期信号的功率,周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在,1,电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号,f,(,t,),，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为,因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有,设一,周期信号,f(t),，将其展开成复指数形式的傅里叶级数,：,傅里叶变换,3.3,非周期信号的频谱,其复振幅,当,T,趋于无穷大时，趋于无穷小，若上式两边同乘以,T,，有,对于非周期信号，重复周期,T,趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量,d,，而离散频率,n,1,变成连续频率,。在这种极限情况下，,F,n,趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为,F,(j),，即,可得,上式中，,F,(j),称为,f,(,t,),的频谱密度函数,反之对,f(t),的傅里叶级数展开也可改写为如下形式,常用信号的频谱函数,门函数：,图,8,矩形脉冲（门函数）的幅度谱和相位谱：,图,9,冲激函数,(t),：,即：,图,3,可见，冲激函数,(,t,),的频谱是常数,1,。也就是说，,(,t,),中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号,(,t,),实际上是无法实现的。,图,10,直流信号：,图,11,指数信号：,即：,图,12,符号函数的频谱：,图,13,符号函数定义为：,则,阶跃信号：,图,14,结论：,f,(,t,),为实偶函数，,F,(,),也为实偶函数；,f,(,t,),为奇函数，,F,(,),为纯虚函数；,f,(,t,),为非奇非偶函数，,F,(,),为复函数；,非周期信号的频谱为连续谱；,若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到无限；,信号的能量主要集中在低频分量；,信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频带越宽。,信号,f,(,t,),在,1,电阻上的能量满足,能量定理,表,3.1,常用傅里叶变换对,续表,线性,3.4,傅里叶变换的性质与应用,如符号函数,脉冲展缩与频带变化（尺度变换）,f,(,t,),F,(,),尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。,在尺度变换性质中，当,a,=-1,时，有,时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。,图,15,信号的延时与相位移动（延时特性）,即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。,因为,故,图,16,信号的调制与频谱搬移（调制定理）,图,17,频谱搬移的原理是将信号,f,(,t,),乘以载频信号,cos,0,t,或,sin,0,t,从而得到,f,(,t,)cos,0,t,或,f,(,t,)sin,0,t,的信号。因为,时,-,频对称性,例如，设有 ，求,F,(,)。,因,令,=4，,t,，,t,，则,图,18,即,说明,Sa(),函数（时域无限）对应的频谱是门函数（频域有限）。,图,19,卷积定理,例如,则,在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中，求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号,f(t),及系统的单位冲激响应,h,(,t,),则有,在频域分析中，若知道,F,(,j,)=,F,f,(,t,),，,H,(,j,)=,F,h,(,t,),，则据卷积性质可知,应用,系统响应的频谱,即系统响应的频谱等于输入信号频谱,F,(,),与系统频率特性,H,(,),的乘积。,故,因,图,20,频域卷积定理,时域微分特性,此性质表明，,在时域中对信号,f(t),求导数，对应于频域中用,j,乘,f,(,t),的频谱函数,。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。,推广到,f,(,t,),的,n,阶导数，即,例如，我们知道,利用时域微分性质显然有,说明：,时域积分特性,时域积分性质多用于,F,(0)=0,的情况，而,F,(0)=0,表明,f,(,t,),的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。,表,3.2,傅里叶变换的性质,对周期信号,f(t),取傅里叶变换,则,3.5,周期信号的傅里叶变换,设,f,(,t,),为周期信号，其周期为,T,，依据周期信号的傅里叶级数分析，可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即,图,21,正、余弦信号的频谱,图,22,对于周期矩形脉冲，其傅里叶变换,则系统函数定义为,系统函数（信号传输的纽带与桥梁）,3.6,系统的频域分析,傅氏变换对：,H,(,),即系统的频率特性。,时、频分析对应关系：,h,(,t,),H,(,),f,(,t,),y,(,t,)=,f,(,t,),h,(,t,),F,(,),Y,(,)=,F,(,),H,(,),例,:,设系统函数 ，输入,f,(,t,)=2,(,t,)时，求输出,y,(,t,)。,解,由卷积定理，因,F,(,)=2,故,所以,无失真传输条件,时域条件：,频域条件：,系统函数：,即：,图,23,无失真传输系统,信号通过理想低通滤波器,理想低通：,图,24,滤波器：系统能让某些频率的信号通过，从而使其他频率的信号受到抑制，这样的系统称为滤波器。若系统的幅频特性在某一频带内保持为常数，而在该频带外为零，相频特性为过原点的一条直线，则这样的系统称为理想滤波器。,图,25,当输入为,(t),时，则冲激响应,见图,4(a),。,当输入为,(,t,),时，则阶跃响应（图,25(b),）,结论：,对输入信号有延时作用；,对高频的滤波作用；,非因果性（因理想滤波器所致）。,1、信号的,取样,3.7,取样定理及其应用,图,26,p,(,t,),T,(,t,),f,(,t,),f,s,(,t,)=,f,(,t,),p,(,t,),2,、取样定理（,sampling theorem),若,f,(,t,),为,带宽有限的,连续信号，其频谱的最高频率为,f,m,，则以取样间隔 对,f,(,t,),均匀取样所得的,f,s,(,t,),将包含原信号,f,(,t,),的全部信息。因而可以从,f,s,(,t,),完全恢复原信号。,称为奈奎斯特,(Nyquist),取样间隔；,称为奈奎斯特取样频率。,（1）理想取样的频谱变化：,1),当,s,2,m,时，,F,s,(),是,F(),在不同,s,倍数上的重复与再现，仅幅值有变化。,2),当,s,2,m,时，,F,s,(),中出现,F(),的叠加与混合（混迭现象）。,（,2,）信号的恢复,借助低通滤波器可从,F,s,(,),中取出原来的,F,(,),。,信号恢复的频域和时域示意图：,图,27,因开关信号,p,(,t,),的频谱,实际取样的频谱变化：,图,28,故,f,s,(,t,),的频谱,图,29,1,、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；,2,、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基础。,在同一时间里传送不同信号，,PCM,电话中采用时分复用方式。,3,、取样定理意义,一、信号的调制与解调,3.8,频域分析用于通信系统,调制：设有用信号为,f,(,t,),称调制信号,高频振荡为,x,(,t,),称载波信号,x,(,t,)=,A,cos(,0,t,+,0,),调幅（AM）：是用,f,(,t,),控制,x,(,t,),的振幅,调频（FM）：是用,f,(,t,),控制,x,(,t,),的频率,调相（PM）：是用,f,(,t,),控制,x,(,t,),的相位,解调：从已被调制的信号中恢复原信号的过程,二、正弦调幅与频分复用（,FDMA,）,正弦调幅与频谱搬移：,频分复用：独占频段，共享时间,图,30,三路信号调制,频分复用：独占频段，共享时间。,图,31,解调原理,解调原理：,Y,1,(,),通过低通滤波器恢复,F,(,),。,信号的解调：,图,32,三路信号解调,三、脉冲调幅与时分复用（,TDMA,）,特点：,独占时间，共享频率。,第,4,章 连续系统的复频域分析,学习重点：,单边拉氏变换及其重要性质；,拉,氏反变换的方法（部分分式展开）；,微分方程,的S域求解；,电路,的S域模型及分析方法。,本章目录,4.1,拉普拉斯变换,4.2,拉普拉斯变换,的基本性质,4.3,拉普拉斯逆变换,4.4,连续时间系统,的复频域分析,4.5,系统,函数与系统特性,4.6,线性系统,的稳定性,4.7,线性系统,的模拟,4.1,拉普拉斯变换,变换思想：,以,傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合,狄利克雷条件,的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；,另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。,4.1,拉普拉斯变换,4.1,拉普拉斯变换,为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。,优点：,求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。,缺点：,物理概念不如傅氏变换那样清楚。,4.1.1,从,傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1,拉普拉斯正变换,4.1.1,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,2,拉氏逆变换,3,拉氏变换对,4.1.1,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,F,(,s,),：为,s,的函数，称为象函数。,s,=,+j,，复频率。,变换对：,f,(,t,),F,(,s,),电压：,u,(,t,),U,(,s,),电流：,i,(,t,),I,(,s,),4.1.1,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,信号,f,(,t,),的单边拉氏变换定义：,收敛域就是使,存在的,s,的区域称为收敛域。记为：,ROC(region of convergence),实际上就是拉氏变换存在的条件；,则收敛条件为,。,4.1.2,拉普拉斯变换的收敛域,图,4-2,拉普拉斯收敛域,4.1.2,拉普拉斯变换的收敛域,例,4-1-