1、21.2.2 公式法第1课时 一元二次方程的根的判别式
01 教学目标
掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．
02 预习反馈
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
03 新课讲授
类型1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况
例1 不解方程，判别下列方
2、程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0.
【解答】 (1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴原方程有两个不等的实数根．
(2)原方程化为一般形式为16y2－24y＋9＝0.
∵a＝16，b＝－24，c＝9，
Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)原方程可化为5x2－7x＋5＝0.
∵a＝5，b＝－7，c＝5，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－100<0，
∴原方程无实数根．
【方
3、法归纳】 判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的思维过程：化成一般形式→求Δ→判断Δ>0，Δ＝0，Δ＜0或Δ≥0，Δ<0→根的情况．
【跟踪训练1】 完成下列表格．
方程
判别式与根 )
2x2＋3x－1＝0
2y2＋2＝4y
2(x2＋1)－x＝0
Δ的值
Δ＝17＞0
Δ＝0
Δ＝－15＜0
根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
类型2 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值或取值范围
例2 已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时．
(1)方程只有
4、一个实数根？
(2)方程有两个相等的实数根？
(3)方程有两个不相等的实数根？
【思路点拨】 (1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．
【解答】 (1)∵方程只有一个实数根，
∴m－2＝0.解得m＝2.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0.解得m＝3.
(3)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0.
解得m＜3.
∵m为非负整数
5、且m≠2，∴m＝0或1.
【方法归纳】 此类问题应考虑两个方面：
(1)根据判别式建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
【跟踪训练2】 若关于x的方程kx2－3x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是(C)
A．k＝0 B．k≥－1且k≠0
C．k≥－1 D．k＞－1
【易错提示】 该方程是一次方程，即k＝0时，方程也有实数根．
04 巩固训练
1．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)
A．4 B．2 C．0 D．－4
2．(21.2.2第1课时习题)一元二次方程
6、2x2－3x＋1＝0的根的情况是(A)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是m>．
4．若关于x的方程x2－6x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是8．
5．(21.2.2第1课时习题)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝.代入方程，得x2＋x－＝0.
解得x1＝1，x2＝－.
∴a的值为，方程的另一个根为－.
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
05 课堂小结
1．本节课主要学习了哪些知识？
2．本节课还有哪些疑惑？说一说！
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