1、三角形的内切圆
教学目标：
1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；
5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。
教学重点：三角形内切圆的概念和画法。
教学难点：三角形内切圆有关性质的应用。
教学过程
一、知识回顾
1、确定圆的条件有哪些？
（1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点
2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？
（角
2、平线上的点到这个角的两边的距离相等。）
3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？
（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心）
二、创设情境，引入新课
1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？
探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心？
2、探究三角形内切圆的画法：
（1）．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
（圆心0在
3、∠ABC的平分线上。）
（2）．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。）
（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）
( 4)．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？
（只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。
4、
教师示范作图。
3、三角形内切圆的有关概念
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。
三、新知应用
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，
求∠BOC的度数。
解：∵点O是△ABC的内心
∴BO是∠ABC的平分线，O
5、C是∠ ACB的平分线
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB
∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°
∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°
小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。
练习：课本第59页作业题第1题和第3题。
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。
求圆柱底面的半径。
分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由
△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连
6、接 OA即得OA平分∠ACB=30°。
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC=
分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，
后面由学生自己完成。
练习：第59页课内练习第2题，作业题第5题
备选例题：
如图， △ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。
求证：DE=DB。
四、小结：
1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？
2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：
图形
⊙O的名称
△ABC的名称
7、
⊙O叫做△ABC的内切圆
△ABC叫做⊙O的外切三角形
⊙O叫做△ABC的外接圆
△ABC叫做⊙O的内接三角形
圆心O的名称
圆心O确定
“心”的性质
圆心 O叫做△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三边的距离相等
圆心 O叫做△ABC外心
作两边的中垂线
外心O到三个顶点的距离相等
3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：
如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，
则AD=AF=
BD=BE=
CE=CF=
特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID 是正方形，
内切圆的半径
(其中r 、l分别是内切圆的半径和三角形的周长)
掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助。
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