九年级数学下册 2.4.1 二次函数的应用课时教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

2.4.1二次函数的应用
一、教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
四、教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
五、教学过程
（一）导入新课
引导学生把握二次函数的最值求法：
(1)最大值：
(2)最小值：
（二）讲授新课
活动1：小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

解：

活动2：探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
（三）重难点精讲
例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：

即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
（四）归纳小结
“最大面积” 问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
（五）随堂检测
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

【答案】
1.12.5
2. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为

3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意
得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，
整理得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，
广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]
即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得
y＝80（x－22．5）2＋199 500，
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．
4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴, ∴
即

⑵当m=8时，化成顶点式:
（3）由，及得关于x的方程:
，得
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时， Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105，
∴
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
六．板书设计
2.4.1二次函数的应用
探究： 例题:

“最大面积” 问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
七、作业布置
课本P47练习
练习册相关练习
八、教学反思