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平行板电容器的动态分析问题

平行板电容器的动态分析问题

平行板电容器是最常见的一种电容器，其结构可以发生变化，因此电容也跟着随之变化。
当我们改变电容器的某个结构时，电容器的电容也随之变化。从而导致电容器中间的电场强度也会发生变化。这就引出一种问题，电容器的动态分析问题。

电容器的动态分析问题总体上来说大概分为两类：电压不变的问题和电荷量不变的问题。一般情况下，题目中的说法是：电压不变（电容器始终接在电源上）电荷量不变（电容器充电完成后，断开电源）

如果根据问题的难度再细分：
层次1：仅仅分析电容和电荷量（电压）的变化
层次2：分析电容和电荷量（电压）的变化，再加上电场强度的变化，而电场强度的变化有两个方法进行比较（U不变的问题中：E=U/d，Q不变的问题中，Q与E成正比(前提是S不变)）
层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化）
层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。
【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】

动态分析问题的处理方法：
1. 先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型
2. 找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比关系），Q的变化（U的变化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向）
3. 再分析E的变化
4. 如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方程或者牛顿第二定律。

典型例题剖析
例1：★★【2016 新课标I】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器（ ）
A. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
答案：D
解析：由可知，当云母介质抽出时，变小，电容器的电容变小；
因为电容器接在恒压直流电源上，故不变，根据可知，当减小时，减小。再由，由于与都不变，故电场强度不变，答案为D
例2：★★【2011 天津】板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为E1.现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间场强为E2，下列说法正确的是(　　)
A．U2＝U1，E2＝E1 B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1 D．U2＝2U1，E2＝2E1
答案：C
解析 由公式C＝、C＝和E＝得U＝，E＝，当Q变为2Q、d变为时，电压U不变，电场强度E变为原来的2倍．C正确．
例3：★★两个较大的平行金属板A、B相距为d，分别接在电压为U的电源正、负极上，这时质量为m、带电荷量为－q的油滴恰好静止在两板之间，如图所示．在其他条件不变的情况下，如果将两板非常缓慢地水平错开一些，那么在错开的过程中(　　)

A．油滴将向上加速运动，电流计中的电流从b流向a
B．油滴将向下加速运动，电流计中的电流从a流向b
C．油滴静止不动，电流计中的电流从b流向a
D．油滴静止不动，电流计中的电流从a流向b
答案　D
解析　电容器与电源相连，两极板间电压不变．将两极板非常缓慢地水平错开一些，两极板正对面积减小，而间距不变，由E＝可知，电场强度不变，油滴受到的电场力不变，仍与重力平衡，因此油滴静止不动．由C＝可知，电容减小，Q＝CU，电荷量减小，电容器放电，因此可判断电流计中的电流从a流向b，故D正确．
例4：★★★【2016 天津】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在P点的点电荷，以E表示两板间的电场强度，表示点电荷在P点的电势能，表示静电计指针的偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则 （ ）

A、增大，E增大 B、增大，不变
C、减小，增大 D、减小，E不变
答案：D
解析：上板下移，由可知，C变大，Q一定，则Q=CQ，U减小，则θ减小；根据，Q=CU, ,,可知Q一定时，E不变；根据U1=Ed1可知P点离下板的距离不变，E不变，则P点与下板的电势差不变，P点电势不变，则EP不变；故ABC错，D正确。
例5：★★(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源连接，下极板接地，一带电油滴位于电容器中的P点且处于静止状态，现将上极板竖直向上移动一小段距离，则(　　)

A．带电油滴将沿竖直方向向上运动
B．P点电势将降低
C．电容器的电容减小，极板带电荷量减小
D．带电油滴的电势能保持不变
答案　BC
解析　电容器与电源相连，两极板间电压不变，下极板接地，电势为0.油滴位于P点处于静止状态，因此有mg＝qE.当上极板向上移动一小段距离时，板间距离d增大，由C＝可知电容器电容减小，板间场强E＝减小，油滴所受的电场力减小，mg>qE，合力向下，带电油滴将向下加速运动，A错；P点电势等于P点到下极板间的电势差，由于P到下极板间距离h不变，由φP＝ΔU＝Eh可知，场强E减小时P点电势降低，B对；由C＝可知电容器带电荷量减小，C对；带电油滴所处P点电势下降，而由题图可知油滴带负电，所以油滴电势能增大，D错．
例6：★★【2008,宁夏】(多选)如图所示，C为中间插有电介质的电容器，a和b为其两极
板；a板接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P
板与b板用导线相连，Q板接地。开始时悬线静止在竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了
角度a。在以下方法中，能使悬线的偏角a变大的是( )
A.缩小a、b间的距离
B.加大a、b间的距离
C.取出a、b两极板间的电介质
D.换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质
答案：BC
解析：本题考查电容器的两个公式。a板与Q板电势恒定为零，b板和P板电势总相同，故两个电容器的电压相等，且两板电荷量q视为不变。要使悬线的偏角增大，即电压U增大，即减小电容器的电容C。对电容器C，由公式C = = ，可以通过增大板间距d、减小介电常数ε、减小板的针对面积S。

变式训练

★（多选）连接在电池两极上的平行板电容器，当两极板间的距离减小时(　　)
A．电容器的电容C变大
B．电容器极板的带电荷量Q变大
C．电容器两极板间的电势差U变大
D．电容器两极板间的电场强度E变大
答案　ABD
解析　平行板电容器的电容C＝.当两极板间距离d减小时，电容C变大，选项A正确．平行板电容器连接在电池两极上，两极板间的电压为定值，选项C错误．根据电容定义式，C＝，Q＝CU，U不变，C变大，所以Q变大，选项B正确．平行板电容器两极板间的电场是匀强电场，E＝，U不变，d减小，所以E变大，选项D正确．
★如图所示的实验装置中，极板A接地，平行板电容器的极板B与一个灵敏的静电计相接. 将A极板向左移动，增大电容器两极板间的距离时，电容器所带的电荷量Q、电容C、两极间的电压U，电容器两极板间的场强E的变化情况是(　　)

A．Q变小，C不变，U不变，E变小
B．Q变小，C变小，U不变，E不变
C．Q几乎不变，C变小，U变大，E不变
D．Q几乎不变，C变小，U变大，E变小
答案　C
★★【2012 江苏】一充电后的平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C和两极板间的电势差U的变化情况是(　　)
A．C和U均增大 B．C增大，U减小
C．C减小，U增大 D．C和U均减小
答案　B
★★【2010 北京】用控制变量法，可以研究影响平行板电容器的因素（如图）。设两极板正对面积为Ｓ，极板间的距离为ｄ，静电计指针偏角为。实验中，极板所带电荷量不变，若( )

A. 保持S不变，增大d，则变大
B. 保持S不变，增大d，则变小
C. 保持d不变，减小S，则变小
D. 保持d不变，减小S，则不变
答案：A
解析：由可得：，保持S不变，增大d，则增大，即变大，故A正确，B错误；保持d不变，减小S，则增大，即变大，故C、D错误
★★(多选)绝缘金属平行板电容器充电后，静电计的指针偏转一定角度，若减小两极板a、b间的距离，同时在两极板间插入电介质，如图所示，则(　　)

A．电容器两极板的电势差会减小
B．电容器两极板的电势差会增大
C．静电计指针的偏转角度会减小
D．静电计指针的偏转角度会增大
答案　AC
解析　绝缘金属平行板电容器充电后电荷量Q不变，若减小两极板a、b间的距离，同时在两极板间插入电介质，电容变大，由C＝知U变小，静电计指针的偏转角度会减小．
★★如图所示是一个由电池、电阻R与平行板电容器组成的串联电路，在减小电容器两极板间距离的过程中(　　)

A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变小
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
答案　D
解析　在减小电容器两极板间距离的过程中，电容器始终与电源相连，则两极板间电压U不变，由C＝知d减小，电容C增大，由Q＝UC知电容器所带电荷量Q增加，电容器充电，电路中有充电电流，电流从电容器负极板通过电阻流向正极板，所以电阻R中的电流方向是从b流向a，故D正确．
★★【2001,北京】一平行板电容器，两板之间的距离和两板面积都可以调节，电容器
两板与电池相连接．以表示电容器的电量，表示两极板间的电场强度，则( )
A．当增大、不变时，减小、减小
B．当增大、不变时，增大、增大
C．当减小、增大时，增大、增大
D．当减小、减小时，不变、不变
答案：A
(2016·云南名校高三月考)(多选)平行板电容器的两板A、B接于电池两极，一个带正电小球用绝缘细线悬挂在电容器内部，闭合开关S，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，如图所示，那么(　　)

A．保持开关S闭合，将A板稍向B板靠近，则θ增大
B．保持开关S闭合，将A板稍向上移，则θ减小
C．开关S断开，将A板稍向B板靠近，则θ不变
D．开关S断开，将A板稍向上移，则θ减小
答案　AC
解析　保持开关S闭合，电容器两极板间的电势差不变，将A板稍向B板靠近，极板间距离减小，根据E＝，知电场强度E增大，小球所受的电场力变大，θ增大，故A正确；保持开关S闭合，将A板稍向上移，电容器两极板间的电势差不变，板间距离也不变，则板间场强不变，小球所受的电场力不变，θ不变，故B错误；断开开关S，电容器所带的电荷量不变，根据E＝、C＝、C＝联立得E＝，知将A板稍向B板靠近，E不变，电场力不变，θ不变，故C正确；将A板稍向上移，则S减小，由E＝知，E增大，小球所受的电场力变大，θ增大，D错误．
★★如图所示，甲图中电容器的两个极板和电源的两极相连，乙图中电容器充电后断开电源．在电容器的两个极板间用相同的悬线分别吊起完全相同的小球，小球静止时悬线和竖直方向的夹角均为θ，将两图中的右极板向右平移时，下列说法正确的是(　　)
A．甲图中夹角减小，乙图中夹角增大
B．甲图中夹角减小，乙图中夹角不变
C．甲图中夹角不变，乙图中夹角不变
D．甲图中夹角减小，乙图中夹角减小

答案　B
解析　甲图中的电容器和电源相连，所以电容器两极板间的电压不变，当极板间的距离增大时，根据公式E＝可知，板间的电场强度减小，电场力减小，所以悬线和竖直方向的夹角将减小．乙图中电容器充电后断开电源，电容器两极板所带的电荷量不变，根据平行板电容器的电容公式C＝，极板间的电压U＝＝，极板间的电场强度E＝＝，场强与两极板间距离无关，故夹角不变，B正确．
★★★(2016·福建福州高三联考)如图所示，两平行金属板竖直放置且B板接地，其间有用绝缘细线悬挂的带电小球，当给两金属板充电Q后，悬线与竖直方向夹角为θ＝，因电离作用，两金属板的电荷量缓慢减小(小球电荷量假设不变)，以致悬线与竖直方向间的夹角逐渐减小，则在夹角减少到的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．细线拉力逐渐增大
B．细线拉力大小不变
C．电容器两极板减小的电荷量为
D．电容器两极板减小的电荷量为
【答案】D　

★★【2015·新课标Ⅱ】如图所示，两平行的带电金属板水平放置．若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将　　)

A．保持静止状态 B．向左上方做匀加速运动
C．向正下方做匀加速运动 D．向左下方做匀加速运动
答案　D
解析　两平行金属板水平放置时，带电微粒静止有mg＝qE，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°后，两板间电场强度方向逆时针旋转45°，电场力方向也逆时针旋转45°，但大小不变，此时电场力和重力的合力大小恒定，方向指向左下方，故该微粒将向左下方做匀加速运动，选项D正确．
★★★（云南省玉溪市第一中学2016届高三下学期第七次月考理科综合物理试题）(多选)如图所示为密立根实验示意图，两水平放置的金属板，充电后与电源断开连接，其板间距为d，电势差为U，现用一喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入板间，若其中一质量为m的油滴恰好能悬浮在板间，重力加速度为ｇ，则下列说法正确的是（ ）

A．该油滴所带电荷量大小为
B．密立根通过该实验测出了电子的电荷量
C．该油滴所带电荷量可能为-2.0×10-18C
D．若把上金属板向下平移一段距离，该油滴将向上运动
【答案】AB
【解析】

★★★【2012 大纲全国】如图,一平行板电容器的两个极板竖直放置,在两极板间有一带电小球,小球用一绝缘轻线悬挂于O点.现给电容器缓慢充电,使两极板所带电荷量分别为+Q和-Q,此时悬线与竖直方向的夹角为.再给电容器缓慢充电,直到悬线和竖直方向的夹角增加到,且小球与两极板不接触.求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量.

【解析】设电容器的电容为C，两板间距为d，第一次充电后两板间电场强度为
①
设小球质量为m，所带电荷量为q，当悬线与竖直方向的夹角为
θ1=π/6时，小球受重力mg、拉力和电场力qE这三个力而处于平衡状态，则有
qE=mgtanθ1 ②
由①②得 ③
所以悬线与竖直方向的夹角为θ与两板带的电荷量Q有关，设第二次充电过程增加的电荷量△Q，小球悬线偏角θ2=π/3，小球再次受力平衡，有
④
联立③④得

代入数据得△Q=2Q

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